只能实现可计算双射函数的编程语言？

当且仅当是可计算双射函数时，是否存在可以实现（或表达）函数的编程语言（或逻辑）？ $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ $f$

— 徐超
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有人向我证明，不可能创建只接受终止程序的语言。由于您的问题非常相似，我想没有。

— FUZxxl 2012年

似乎不可能有这样的编程语言，我想您可以尝试执行它，但是那样您将无法做诸如排序之类的简单事情，至少要使它变得非常复杂和痛苦就不可能了。

— Luke Mathieson，2012年

@FUZxxl这不会捕获许多终止程序，实际上即使函数f（x）= 1也无法用这种语言表示。我也感觉到这种功能被总功能编程所捕获，因为每个功能都是总功能。

— 赵超

@FUZxxl，我认为这是不对的，但是必须限制这种语言。例如，与有限确定性自动机等效的语言将被保证终止，但其计算能力将受到极大限制。

— jmite 2012年

@FUZxxl，这样的声明的细节很重要。设计每个程序都终止的编程语言很容易。设计一种可以表达每个可计算功能的语言是另一回事。

— 维杰D

没有这样的语言。

但是，看看Boomerang。它是用于在字符串之间编写双射的语言。我不知道在一类地图中可表达的范围是多少，但是我敢肯定，如果您进行一点搜索，便可以找到答案。

合理地需要一种编程语言，即解释程序或编译器可以识别有效程序集，即它是可计算枚举的集。假设我们有一种编程语言，其有效程序集可计算地枚举，并且精确地实现了所有可计算双射。这意味着我们可以计算出所有可计算的双射（仅列举此编程语言中的所有有效程序），但这在下一个定理中是不可能的。 $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

定理： 假设是可计算双射的可计算的序列。然后有一个不在序列中的可计算双射。 $f_0, f_1, f_2, \ldots$

证明。我们构造一个双射如下。为了定义值和，我们看： $g : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ $g(2 k)$ $g(2 k + 1)$ $f_k(2 k)$

如果然后集和， $f_k(2 k) = 2 k$ $g(2 k) = 2 k + 1$ $g(2 k + 1) = 2 k$
如果然后集和。 $f_k(2 k) \neq 2 k$ $g(2 k) = 2 k$ $g(2 k + 1) = 2 k + 1$

显然，对于每，不同于因为。此外，是可计算的，并且是双射，因为它是自己的逆。QED。 $k \in \mathbb{N}$ $g$ $f_k$ $g(2 k) \neq f_k(2 k)$ $g$

— 安德烈·鲍尔（Andrej Bauer）
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为什么你甚至不需要这

和

把戏？使用

就足够了。

2 k

$2k$

2 k + 1

$2k+1$

g (k) = f_{k} (k) + 1

$g(k)=f_k(k)+1$

— FUZxxl 2012年

@FUZxxl：如果您使用

则结果函数不是排斥的

f_{k} (k) + 1

$f_k(k)+1$

— Vor 2012年

您需要确保

是双射的。

g

$g$

— Andrej Bauer

最初的说法是错误的，文献中有许多这样的语言。

— 纳撒尼尔（Nathaniel）

另一方面，您的证明似乎合法。也许我有点困惑。我需要仔细阅读Axelsen和Glück的论文（请参阅我的答案），以了解此处的情况。

— 纳撒尼尔（Nathaniel）