如何将循环重叠的NFA转换为正则表达式？

如果我理解正确，NFA具有与正则表达式相同的表达能力。通常，从NFA中读取等价的正则表达式很容易：您将循环转换为恒星，将交汇处转换为替代物，等等。但是在这种情况下该怎么做：

^{[ 来源 ]}

重叠的循环使得很难看到此自动机接受什么（就正则表达式而言）。有把戏吗？

而不是“阅读”，您应该采用几种规范方法之一来执行此操作。到目前为止，我所看到的最好的方法是将自动机表示为可以解决的（常规）语言的方程组。它特别好，因为它似乎比其他方法产生更简洁的表达式。

去年夏天，我写了这份文件，向学生解释了该方法。它直接与特定的讲座有关；提到的参考文献是正则表达式的典型定义。包含Arden引理的证明（需要的结果）；缺少一种方法的正确性。不幸的是，据我在演讲中了解到的，我没有参考。

简而言之：对于每个状态，创建等式$q_i$

$\qquad \displaystyle Q_i = \bigcup\limits_{q_i \overset{a}{\to} q_j} aQ_j \cup \begin{cases} \{\varepsilon\} &,\ q_i \in F \\ \emptyset &, \text{ else}\end{cases}$

其中是最终状态的集合，表示从到标有过渡。如果您将读为或（取决于您的正则表达式定义），则会看到这是一个正则表达式的等式。$F$$q_i \overset{a}{\to} q_j$$q_i$$q_j$$a$$\cup$$+$$\mid$

解决这个问题（使用Arden引理）为每个状态生成一个正则表达式，精确描述从开始可以接受的单词；因此，（如果是初始状态）是所需的表达式。$Q_i$$q_i$$Q_0$$q_0$

保留给定自动机的应用程序作为练习；上面的链接文档中包含一个完整的示例。

^{另请参阅此处我张贴类似答案的地方。}

如果只有一串没有循环的状态，您知道该怎么做吗？

如果存在一个没有此重叠分支的简单循环，您知道该怎么办吗？

（如果答案为“否”，请首先考虑这些情况。）

现在，我们的想法是逐步转换自动机，使其处于一种形式，在其中您可以发现这些模式：链，循环和最终会聚的分支路径（导致交替）。在转换的每个步骤中，请注意，转换后的自动机仍然可以识别相同的语言。

请记住，这是一个非 -deterministic自动机。您发布的内容恰好是确定性的，但在进行转换时并不一定要那样做。

由于粘性点是可以从两个不同的点到达，因此将其分成两部分。保持，删除从到的过渡，并添加一个新的状态其中包含过渡。现在您应该能够发现一个模式。q 1 f → q 2 g → q 3 q 4 q 2 q 5 q 4 j → q 5 g → q $q_2$$q_1 \xrightarrow{f} q_2 \xrightarrow{g} q_3$$q_4$$q_2$$q_5$$q_4 \xrightarrow{j} q_5 \xrightarrow{g} q_3$

如果此时仍然遇到问题，请注意涉及的循环对应于一个简单的正则表达式。到达，您可以根据需要在此循环中进行尽可能多的运行。在某种意义上（可以理解为技术上），您可以用正则表达式替换状态。q 3 q 3（h j g ）$q_3,q_4,q_5$$q_3$$q_3$$(hjg)^*$

注意检查哪些状态是最终状态。首先可以不必担心，并做一个大的循环，然后复制在循环中途终止的零件。

这不一定是最有效的技术，也不是生成最简单的正则表达式的技术，但它很简单。