Bellman-Ford算法-为什么无法按顺序更新边缘？

的Bellman-Ford算法确定从源的最短路径到所有其它顶点。最初，与所有其他顶点之间距离设置为。然后计算从到每个顶点的最短路径；这正好为 迭代。我的问题是：小号∞ 小号| V | − $s$$s$$\infty$$s$$|V|-1$

• 为什么需要迭代？$|V|-1$
• 如果以其他顺序检查边缘会不会很重要？
  假设，如果我先检查边缘1,2,3，然后在第二次迭代中检查2,3,1。

麻省理工学院的埃里克教授说顺序并不重要，但是这使我感到困惑：如果算法的值取决于边缘但是是在之后更新的，该算法是否会错误地基于边缘更新节点？$x_2$$x_1$$x_1$$x_2$

考虑从到的最短路径，。该路径最多包含边，因为如果我们没有负的权重循环，则在最短路径中重复顶点始终是个坏主意（或者至少存在一条不重复顶点的最短路径）。 。$s$$t$$s, v_1, v_2, \dots, v_k, t$$|V|-1$

在第一回合中，我们知道边缘将被放宽，因此在此回合之后的距离估计将是正确的。请注意，目前我们知道是什么，但是在放松所有边缘的同时，我们也必须放松该边缘。在第二轮中，我们在某个时候放松。我们仍然不知道或是什么，但是我们知道它们的距离估计是正确的。$(s, v_1)$$v_1$$v_1$$(v_1, v_2)$$v_1$$v_2$

重复此，一些轮后，我们已放宽，在这之后的距离估计为是正确的。在整个算法结束之前，我们不知道是多少，但是我们知道它会在某个时刻发生（假设没有负权重循环）。$k+1$$(v_k, t)$$t$$k$

因此，关键的观察结果是，在第轮之后，最短路径的第个节点必须将其距离估算值设置为正确的值。由于路径最多为边长，因此舍入即可找到此最短路径。如果第三轮仍然改变了一些东西，然后又发生了一些奇怪的事情：所有路径都应该已经“结算”到它们的最终值，所以我们必须面临一个负负周期的情况。$i$$i$$|V|-1$$|V|-1$$|V|$

没有任何循环的最长路径为|V|。我们从源开始，所以我们已经有一个长度为1的路径，因此我们需要|V| - 1更多的节点才能获得最长的路径。

顺序无关紧要，因为每个顺序都将保持不变：n迭代之后，每个节点的值小于或等于从s到包含最多n边的节点的最小成本路径的成本。

如果在迭代开始时，成本直到n节点都是正确的，那么在迭代结束时，成本到节点都是正确的n+1。重新排序可能会导致某些节点在正常进行更新之前具有较低的成本，但是无论如何最终还是会对其进行更新。