矩阵链乘法和求幂

如果我有两个矩阵$A$和$B$，分别为维度$1000\times2$和$2\times1000$，并且要计算$(AB)^{5000}$，则将表达式重写为A（BA）^ {4999}效率更高B$A(BA)^{4999}B$，然后才进行数字评估，因为$AB$的尺寸为$1000\times1000$而$BA$的尺寸为$2\times2$。

我想解决此问题的广义版本。是否有合理有效的算法（不是蛮力）来优化包含以下内容的表达式：

• 已知尺寸的自由矩阵变量
• 任意子表达式的乘积
• 任意子表达式提升为自然幂

...这样，用自由矩阵变量替换为具体的矩阵值之后，进行数字评估所需的工作最少。

该矩阵链乘积问题是我的问题的一个特例。

编辑：

这是一个暂定答案。直觉上对我来说似乎正确，但是我没有证据证明它是正确的。如果事实证明是正确的，我仍然对证明感兴趣。（当然，如果不正确，请纠正我。）

对于每个乘幂的乘积，例如（A_1 A_2 \ ldots A_k）^ n$(A_1 A_2 \ldots A_k)^n$，请考虑因子的每个循环排列：

• $(A_1 A_2 \ldots A_k)^n$
• $A_1 (A_2 \ldots A_k A_1)^{n-1} A_2 \ldots A_k$
• $A_1 A_2 (A_3 \ldots A_k A_1 A_2)^{n-1} A_3 \ldots A_k$
• ...
• $A_1 A_2 \ldots A_{k-1} (A_k A_1 A_2 \ldots A_{k-1})^{n-1} A_k$

...递归地 每个幂将使用平方平方的幂计算（显然），而所有其他乘积将使用矩阵链乘法算法返回的最佳顺序进行计算。

编辑：

我之前的编辑中概述的想法仍然有些不理想。平方算法的求幂实际上是评估或形式的表达式，其中不一定是恒等矩阵。但是我的算法没有考虑使用平方不等于的平方算法求幂的可能性。$K A^n$$A^n K$$K$$K$

免责声明：未严格证明以下方法是最佳方法。提供了非正式证明。

当考虑产品的平方时，问题减少到寻找最有效的订购。

例如，当查看例如，我们只需要最优解因为它扩展为。再次串联不会添加任何有用的订购信息。这里的直觉是，由于可以自下而上地解决最佳排序的问题，因此使用相同矩阵由更多元素组成的更高排序是不相关的。$(ABC)^{50}$$(ABC)^2$$ABCABC$$ABC$

找到的最佳顺序为矩阵链乘法问题。找到最佳排序后，将求幂应用于排序中的三元组（通常为n元组）。$ABCABC$

例如，如果平方的最佳排序是，则初始问题的解是。$A(B(CA))BC$$A(B(CA))^{49}BC$

概括而言：
1）求解第一步是求解。 2）最好将作为矩阵链乘法问题的一个实例。 3）使用（2）中的解决方案的n元组排序将为我们提供（1）的解决方案，即某种风味（请注意，其他任何（2）中的分组也应适用。$(A_1 A_2 \cdots A_n)^m$$(A_1 A_2 \cdots A_n)^2$
$(A_1 A_2 \cdots A_n)^2$
$G$$A_1 \cdot A_2 \cdot G^{m-1} \cdot A_n$

非正式的证据
使用两个矩阵考虑最简单的情况下，，我们是注意到和的维度和分别。任何使用和都具有以下尺寸之一：$(AB)^n$$A$$B$$X \times Y$$Y \times X$$A$$B$

$X \times Y$
$Y \times X$
$Y \times Y$
$X \times X$

我们有或。$X < Y$$Y ≤ X$

假设1a）： 具有维数，并且从下而上的方法可以保证这种排序是最佳的。和其他任何配置都相同或更好。因此，该问题被最佳地解决为。$X < Y$
$AB$$X \times X$$A$$B$$(AB)^n$

假设1b）： 尺寸为。这是涉及和所有产品的最佳订购。因此，该溶液被最佳发现为。$Y ≤ X$
$BA$$Y \times Y$$A$$B$$A(BA)^{n-1}B$

这样就证明了这一结论，我们只研究了平方问题中的两个排序。$ABAB$

使用更多矩阵，论点是相似的。也许可以归纳证明？一般的想法是，求解平方的MCM将为考虑所有涉及矩阵的操作找到最佳大小。

案例分析：

julia> a=rand(1000,2);
julia> b=rand(2,1000);
julia> c=rand(1000,100);
julia> d=rand(100,1000);
julia> e=rand(1000,1000);

julia> @time (a*b*c*d*e)^30;
  0.395549 seconds (26 allocations: 77.058 MB, 1.58% gc time)

# Here I use an MCM solver to find out the optimal ordering for the square problem
julia> Using MatrixChainMultiply
julia> matrixchainmultiply("SOLVE_SQUARED", a,b,c,d,e,a,b,c,d,e)
Operation: SOLVE_SQUARED(A...) = begin  # none, line 1:
    A[1] * (((((A[2] * A[3]) * (A[4] * (A[5] * A[6]))) * (A[7] * A[8])) * A[9]) * A[10])
  end
Cost: 6800800

# Use the ordering found, note that exponentiation is applied to the group of 5 elements
julia> @time a*(((((b*c)*(d*(e*a)))^29*(b*c))*d)*e);
  0.009990 seconds (21 allocations: 7.684 MB)

# I also tried using the MCM for solving the problem directly
julia> @time matrixchainmultiply([30 instances of a,b,c,d,e]);
  0.094490 seconds (4.02 k allocations: 9.073 MB)

如果你想计算n的产品矩阵到在最好的时候，你可以很容易地计算出需要多少运算计算的产品到对所有1≤I≤Ĵ≤n的步骤。$A_1$$A_n$$A_i$$A_j$$O (n^3)$