Conor McBride的某些作品《Diff，Dissect》将数据类型的派生与它们的“单孔上下文类型”相关联。也就是说，如果采用该类型的派生形式，则将剩下一个数据类型，该数据类型向您显示该数据类型在任何给定点从内部看起来如何。

因此，例如，如果您有一个列表（在Haskell中）

data List a = [] | a : List a

这对应于

data List a = 1 + a * List a

通过一点数学魔术，导数是

data ListDeriv a = List a * List a

这被解释为意味着在列表中的任何一点处，左侧都会有一个列表，而右侧则有一个列表。我们可以使用派生数据结构浏览原始列表。

现在，我有兴趣对图形进行类似的操作。图的常见表示形式是一组顶点和边，它们可以通过以下数据类型来简单地实现：

data Gr a b i = Gr [(i,a)] [(i,i,b)]

如果我正确理解的话，就图索引而言，这种数据类型的派生i应该是类似的。

data GrDeriv a b i = d/di (Gr a b i)
     = d\di ( [a*i] * [b*i^2] )
     = (d\di [a*i]) * [b*i^2] ) + [a*i]*(d/di [b*i^2])
     = (a* [a*i] * [a*i]) * [b*i^2] ) 
       + [a*i] * (2*b*i) *[b*i^2]*[b*i^2])
     = InNodes { nodesLeft :: [(a,i)]
               , nodeLbl :: a
               , nodesRight :: [(a,i)]
               , edges :: [(b,i,i)] }
     | InEdges { nodes :: [(a,i)]
               , adjNode :: Either (b,i) (b,i)
               , edgesLeft :: [(b,i,i)]
               , edgesRight :: [(b,i,i)] }

我是通过将乘积规则和链规则用于派生而得到的，尽管可能会有一些错误，但它似乎遵循了一般的方案。在此结构中，您将专注于Nodes（InNodes构造函数）或Edges（在edges中），并在指定的位置看到相关的数据。

但这不是我想要的。我希望找到一种与Martin Erwigs功能图库的接口更紧密相关的构造。具体来说，我想在一个节点上看到一个表示该节点标签的上下文和两个邻接表，一个邻接表，一个邻接表。

Node a b = ([(i,b)],a,[(i,b)])

但是，我确实看到了希望，因为邻接表示法a在每个孔位置与每个边缘的邻接表示法/分解法与派生词，孤标都有一些共同点。

由于派生函数与原始函数不相同，但是派生函数的集成是（kindof），是否存在某种集成类似物可将派生函数转换为节点上下文的集合？请注意，这不是直接集成来恢复原始结构，而是一种与原始结构等效的结构，但具有更友好的算法表示形式。

如果有的话，我希望可以通过一些简单的“一组顶点和边”语言来指定关系类型结构，并且我可以派生一个高效的库来处理该结构。这样的实现方式可以用于研究“超越图论”的结构：超图，单纯形复...

所以。这个想法似乎可行吗？有用？有没有关于这种事情的研究，我可以阅读更多？

附录

$G=(V,E)$

$G=(V,E)$$I$$V$$E$

$$G = I \to (V * I \to E)$$

我敢肯定，这可以表示为（类别理论？）

$$G = (V * E^{I})^{I} \tag{1}$$

要么

$$G = V^I * E^{I*I}$$

$(1)$

$$G' = \ln(V * E^{I}) * (V * E^{I})^{I} * (\ln(E) * V * E^{I})$$

我确实认为这显示了一些希望，但我缺乏进一步发展的技巧。我知道那里必须进行进一步的探索。

*如果链接断开，请引用：Rhee，Injong等。“ DRAND：用于无线自组织网络的分布式随机TDMA调度。” IEEE Transactions on Mobile Computing 8.10（2009）：1384-1396。

您的类型Gr并不真正对应于图，因为它包括许多实例，这些实例显然不是图，因为边缘索引不必是实际的顶点索引。

例如，

$$V = \{A, B\} \;\;\;\; E = \{(C, D, e)\}$$

不是图形，但允许您输入为

Gr [(1, A), (2, B)] [(3, 4, e)]

相反，您的Gr字面上对应于标记索引的列表和标记索引对的单独的，不相关的列表。这就是为什么您得到这样的“文字”派生词Gr不对应于图形中的“孔”的原因。

还有一个不幸的问题是关心顶点/边的顺序（在nodesLeft/Right和edgesLeft/Right区别中可见），但是可以通过使用a Set而不是列表来解决。

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这是用Haskell表示的一种类型，我认为它与（非空）图更为接近：

data Graph v e = Lone v | Joined v (Graph (v, ([e], [e])) e)

为了简单起见，我将考虑完整，简单，无向的图：

data Graph v e = Lone v | Joined v (Graph (v, e) e)

（要放松完整性，请e = Bool标记边缘存在）

请注意，这Graph是递归的（实际上是参数递归的）。这就是允许我们将类型限制为仅图形的方式，而不仅仅是将邻接表与顶点列表组合在一起的方式。

用代数写的

$$G(v, e) = v + v * G(v * e, e)$$

$e$$v$$G$

$$G(v) = v + v * G(v * e)$$

通过反复扩展，我们得到了固定点

$$G(v) = v^1 e^{\binom 1 2} + v^2 e^{\binom 2 2} + v^3 e^{\binom 3 2} + v^4 e^{\binom 4 2} + \dots$$

这很有意义，因为（完整）图是

• 一个顶点，没有边
• 两个顶点和一个边
• 三个顶点和三个边
• 四个顶点和四个选择2 = 6条边
• ....

$k$$G_k(v) = v^k e^{\binom k 2}$$G(v) = G_1(v) + G_2(v) + \dots$

具有导数

$$\frac d {dv} G(v) = \sum_{i=1} G_i'(v)$$

$$G_k'(v) = \frac d {dv} \left[ v^k e^{\frac {k(k-1)} 2} \right] = k v^{k-1} e^{\frac {k(k-1)} 2}$$

$G_{k-1}(v) = v^{k-1} e^{\frac {(k-1)(k-2)} 2}$$G_k'(v) = G_{k-1}(v) * k * e^{k-1}$

$k$$k-1$$k-1$$k-1$$k$

data SimpleGraph v e = Lone v | Joined v (SimpleGraph (v, e) e)

data SimpleGraphHole v e = Empty
                         | InsertLater v (SimpleGraphHole (v, e) e)
                         | InsertHere (SimpleGraph (v, e) e)

该图中的定单

此版本的Graph数据结构从根本上讲是一个链表，因此它对顶点的顺序进行编码。虽然可以使用Set在邻接列表版本中解决此问题，但在这里并不是那么直接。

我认为您可以修改树数据结构以进行相同类型的参数递归，而根起“ head”的作用SimpleGraph。通过生成的树集的界面，顺序/基础结构变得不可见（如果您对快速更新不感兴趣，甚至可以是规范的）。

您建议的衍生品

您提出了派生类型；我将进行更改，以使标签和索引像我一样：([(v,e)], [(v,e)])

$\int \frac 1 {(1 - ve)^2}$$C + \frac v {1 - ve}$(v, [(v, e)])