寻找最佳问题顺序以最大程度地减少学生的总时间

假设有一个大学的辅导课。我们有一组问题和一组学生。每个学生有问题，即，针对每个学生的特定子集疑问，让是一系列问题，一个学生都有怀疑。假设 $k$ $Q = \{ q_1 \ldots q_k \}$ $n$ $S = \{ s_1 \ldots s_n \}$ $s_j$ $Q_j \subseteq Q$ 和。 $\forall 1 \leq j \leq n: Q_j \neq \phi$ $\bigcup_{1\leq j\leq n}Q_j = Q$

所有学生都在开始时进入教程课程（在）。现在，一旦讨论了所有他有疑问的问题，学生就会离开本教程。假设讨论每个问题所需的时间相等，例如1单位。令为在教程会话中花费的时间。我们希望找出最佳置换在哪些问题进行了讨论这样的量 $t = 0$ $^*$ $t_j$ $s_j$ $\sigma$ $(q_{\sigma(1)} \ldots q_{\sigma(n)})$ 被最小化。 $T_\sigma = \Sigma_{1\leq j \leq n}t_j$

我无法设计多项式时间算法或证明硬度。 $\mathsf{NP}$

我们可以定义问题的决定版本

T U T = {⟨ k, n, F_{Q}, C ⟩ ∣ \exists σ : T_{σ} \leq C}

$\mathsf{TUT} = \{\langle k, n, \mathcal{F}_Q, C \rangle \mid \exists \sigma : T_{\sigma} \leq C\}$

其中是的集合。 $\mathcal{F}_Q$ $Q_j$

然后，我们可以找到的最小使用二进制搜索并找出最佳使用部分分配到使用用于一个oracle在多项式时间。此外，，因为最佳可作为我们可以在多项式时间内很容易地验证证书。 $T_\sigma$ $C$ $\sigma$ $\sigma$ $\mathsf{TUT}$ $\mathsf{TUT} \in \mathsf{NP}$ $\sigma$

我的问题：完整？或者我们可以为其设计多项式时间算法吗？ $\mathsf{TUT}$ $\mathsf{NP}$

旁注：顺便说一句，我在实际的辅导课之后想到了这个问题，在该会议中，助教以正常顺序讨论了这些问题，因为许多学生不得不等到最后。 $q_1 \ldots q_n$

示例
令且。和。我们可以看到，最佳因为在这种情况下，后叶和后叶 $k=3$ $n=2$ $Q_1 = \{q_3\}$ $Q_2 = \{q_1, q_2, q_3\}$ $\sigma = \langle 3, 1, 2 \rangle$ $s_1$ $t_1 = 1$ $s_2$ ，所以总和为4。但是，如果我们讨论的顺序问题，然后和都不得不等到年底，所以总和是6。 $t_2 = 3$
$\langle 1, 2, 3\rangle$ $s_1$ $s_2$ $t_1 = t_2 = 3$

您可以自由解决更一般的情况，其中每个问题需要单位进行讨论！ $^*$ $q_i$ $x_i$

— skankhunt42
source

只是要清楚一点：所有学生都同时进入，还是从提出第一个问题的那一刻起就进入？

— 离散蜥蜴

@Discretelizard所有学生在开始时都同时进入（t = 0）。

— skankhunt42

在当前的定义中，问题集是唯一的，即一组问题最多属于一个学生。这可能是一个合理的简化，但是我怀疑这是现实的（并且我怀疑这将对问题的复杂性起很大的作用）

— 离散蜥蜴

我想两个学生可能会有完全相同的问题集，因此等待时间将乘以2。

— gnasher729

我怀疑问题是NP难题。我将展示如何解决问题，使其与 NP难题紧密相关。（是的，这非常模糊。我基本上认为我的一般方法是正确的，但是我目前无法进行。） $\mathsf{TUT}$

首先，请注意，问题可以重新表示为： $\mathsf{TUT}$

给定一组的问题的大小的，一套子集和一个整数，不存在序列，使得对于所有： $Q$ $k$ $n$ $\mathcal{F}_Q\subseteq \mathcal{P}(Q)$ $C$ $\Sigma : \langle S_1,\ldots, S_k\rangle$ $i \in\{1,\ldots,k\}$

和 ; 和 $S_i\subseteq Q$ $|S_i|=i$
所有 ; 和 $S_i \subset S_j$ $j>i$
？ $\sum_{i=1}^k |\{q\in\mathcal{F}_Q\mid q\not\subseteq S_i\}| \leq C$

注意，集合表示将要解释的前问题。条件1和2确保根据此解释，子集形成良好。条件3计算的是每个时刻都没有离开的学生人数，因此，这实际上是所有学生总等待时间的总和。 $S_i$ $i$

$\mathcal{F}_Q$ $2$ $Q$

$|\{q\in\mathcal{F}_Q\mid q\not\subseteq S_i\}|$ $i$ $\mathsf{\text{Double max $k$-vertex-cover}}$

$G=(V,E)$ $k$ $t$ $V'\subseteq V$ $k$ $\{(u,v)\in E\mid u\in V' \wedge v \in V' \}$ $t$

$k$ $\mathsf{TUT}$ $i$ $\Sigma$ $7$ $4$ $3$ $i=3$ $3$ $4$ $i=4$

$\mathsf{TUT}$

因此，总而言之，我将问题简化为以下几点：

$\mathsf{TUT}$

$|\{q\in\mathcal{F}_Q\mid q\not\subseteq S_i\}|$ $i=1\ldots k$ $i-1$ $k$ $i$ 最终将成为“全局”最大值，以防止检查指数数量的子集。

— 离散蜥蜴
source