DAG的传递还原

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我正在寻找O（V + E）算法来找到给定DAG 的传递减少。

那就是删除尽可能多的边，这样，如果您可以从u到达v，则对于任意v和u，在去除边之后仍然可以到达。

如果这是标准问题，请向我指出一些模型解决方案。

algorithms graphs dag

— 卡兰
source

您不能使用您引用的维基百科引理中给出的参考？

— 亨德里克

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好吧，维基百科中讨论的算法以

O (V \times E)

$O(V\times E)$ （在最佳情况下，即在非循环图的情况下）而不是

O (V + E)

$O(V+E)$ 。我认为正确的答案是您当前正在寻找的算法可能不存在

— Carlos LinaresLópez'12

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同意不清楚您要的东西是否存在。如果有这样的算法，那么很多论文将变得毫无意义，例如，sciencedirect.com/science/article/pii/0012365X9390164O。就是说，如果您可以更明确地了解自己的动机，那么可能会有更具体的解决方案。例如，您对图是否了解其他任何信息，或者

O (n (n + m))

$O(n(n+m))$ 工作吗？

— William Macrae

我在某个地方看到了问题，但是没有其他信息，也许是问题中的错字。

— 卡兰2012年

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如果您在DAG中进行拓扑排序，但是通过使用子项来跟踪可到达的顶点该怎么办呢，例如，，然后从排序图中的最新项开始，和删除未使用的边缘，通过保留可达功能上去了，这给你最大可能边去掉，但我不知道，如果它得到最大可能性（它的。

r e a c h a b l e [v] = \cup_{v^{'} \in c h i l d r e n_{v}} r e a c h a b l e [v^{'}]

$reachable[v] = \cup_{v' \in children_v} reachable[v']$

O (| E | + | V |)

$O(|E|+|V|)$

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我们可以通过在每个顶点上执行DFS来解决此问题。

对于每个顶点，从每个顶点开始DFS，使得是的直接后代，即。是边。 $u \in G$ $v$ $v$ $u$ $(u,v)$
对于DFS从可以到达的每个顶点，除去边。 $v'$ $v$ $(u, v')$

上面的总体复杂度是运行 DFS' 的复杂度，即。 $N$ $O(N(N+M))$

— pratyaksh
source

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请注意，渐近地，这与问题本身链接的Wikipedia文章中的算法具有相同的复杂性。

O (N M)

$O(NM)$

— David Richerby 2014年

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同意由于该问题的答案很简洁，因此我提出了一个。此外，解决方案不太可能是IMO。

O (N)

$O(N)$

— pratyaksh

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不是你想要的。但是仅出于共享知识的目的，如果假设每个顶点都充当处理器，则可以使用消息来实现。注意每个顶点都有一个可比较的值。因此，存在一些顶点，使得它们大于所有邻居。这些顶点执行以下操作： $O(|E|)$

让是最大的小邻居， $u$ $v$
向发送一条消息，并在输出中包括边。 $u$ $(v,u)$
对于每一个邻居的和（比都较小），不包括输出。 $w$ $u$ $v$ $(v,w)$
重复这些步骤，直到输出中包含或不包含顶点的较小邻居的所有边。 $(v,v')$ $v'$ $v$

现在，如果节点从每个更大的邻居接收到一条消息（即包括或不包括所有边缘，则节点行为就好像它是其邻域中最大的一样。前面提到的4个步骤。 $v$ $(v',v)$ $v$

该算法在分布式环境中以消息终止。我知道这不是您要的。 $O(|E|)$

— 阿杰德
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引理：如果存在边V-> Y且Y也是V 的间接继承者（例如V-> W-> + Y），则边V-> Y是可传递的，而不是可传递根的一部分。

方法：跟踪每个顶点的传递闭合，以从终端到初始顶点的反向拓扑顺序工作。V的间接继任者集合是V的直接继任者的及物关闭的并集。V的及物关闭是其间接继任者和其直接后继者的并集。

算法：

    Initialise Visited as the empty set.
    For each vertex V of G, 
        Invoke Visit(V).

    Visit(V):
        If V is not in Visited,
            Add V to Visited, 
            Initialise Indirect as the empty set,
            For each edge V -> W in G,
                Invoke Visit(W),
                Add Closure(W) to Indirect.
            Set Closure(V) to Indirect.
            For each edge V -> W in G,
                Add W to Closure(V),
                If W is in the set Indirect,
                    Delete the edge V -> W from G.

这假设您有某种有效的方式来跟踪顶点集（例如，位图），但是我认为这种假设也是在其他O（V + E）算法中做出的。

一个潜在有用的副作用是，它找到G的每个顶点的传递闭包。

— BD
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我已经删除了您先前帐户中发布的答案。如果您仍然希望合并两个帐户，请按照帮助中心中的步骤进行操作。话虽如此，由于较早的帐户不再具有任何可见的内容，因此您可以坚持使用新的帐户。

— 吉尔斯（Gilles）'“ SO-别再邪恶了”

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我解决了相同的问题，但不完全相同，它要求缩小后的图形中没有边的最小值，以使原始连接的顶点仍然连接并且不建立新连接。 很明显，它不是说找到缩小的图，而是找到多少冗余边。 这个问题可以用O（V + E）解决。指向说明的链接是https://codeforces.com/blog/entry/56326。但我认为实际上要制作图，它会比O（N）具有更高的复杂度

— 库玛·莫希特（Kumar Mohit）
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