检索有向无环图的传递闭合的高效算法

我正在尝试解决图形问题（这不是为了做作业，只是为了练习我的技能）。给出了DAG ，其中是顶点集合，是边线。该图被表示为邻接表，所以是包含的所有连接的一组。我的任务是找到它的顶点是从每个顶点可达。我使用的解决方案的复杂度为 $G(V,E)$ $V$ $E$ $A_v$ $v$ $v\in V$ $O(V^3)$ ，带有传递闭包，但是我在博客中读到它可以更快，尽管它没有揭示如何实现。谁能告诉我另一种方法（具有更好的复杂性）来解决DAG中的传递闭包问题？

algorithms graph-theory graphs

— 罗恩托格尼斯·亚里斯多芬尼斯
source

看一看：stackoverflow.com/questions/3517524/...

— AJed

这是：cs.hut.fi/~enu/thesis.html

— 2012年

但是，我的建议是保留

。但只要尝试减少平均比较次数即可。也就是说，进行猜测并向您的算法添加简单的规则。您可以使用矩阵乘法-但是，如果将其用于小型图形，则这只是一团糟，实际上，您的方法更好。

O (| V |^{3})

$O(|V|^3)$

— 2012年

@AJed在此特定问题中，

将超过时间限制。

O (V^{3})

$O(V^3)$

— Rontogiannis Aristofanis

@RondogiannisAristophanes当您说时间限制时，您是说这在某些编程/算法挑战（例如topcoder等）中是一个问题吗？如果是这样，并且如果您确定正确实现了

解决方案，则可能需要再次查看问题。可能还有其他一些隐藏的属性可能会简化事情，或者可能有一种更好的方式来表达问题，从而不需要传递闭包。因为传递闭包与矩阵乘法一样困难。读

O (V^{3})

$O(V^3)$ student.cs.uwaterloo.ca/~cs466/Old_courses/F08/...

— 帕雷什

我们的图是非循环的这一事实使这个问题更加简单。

拓扑排序可以使我们对顶点进行排序，使得如果，则从到边将不存在。我们已经列出了顶点，以便所有边都在列表中“向前”。 $v_1,v_2,\dots,v_n$ $i < j$ $v_j$ $v_i$

（编辑以修复分析并提供更快的算法）

现在，我们从最后一个顶点开始向后浏览该列表。的传递闭包本身。还要加上 $v_n$ $v_n$ $v_n$ 到每个具有边的顶点的传递闭合中。 $v_n$

对于彼此的顶点，从末尾开始，首先将添加到其自己的传递闭包中，然后将所有内容添加到的传递闭包中 $v_i$ $v_i$ $v_i$ 的传递闭包中的所有内容添加到边缘为的所有顶点的传递闭包中。 $v_i$

运行时间在最坏的情况下，与顶点和的数目的边缘的数目。拓扑排序需要时间。然后，我们在向后遍历中进行另一个工作：当我们向后遍历列表时，对于每个边，我们必须相加 $O(n+m+nm) = O(n^3)$ $n$ $m \in O(n^2)$ $O(n+m)$ $O(mn)$ $n$ 顶点到某人的及物关闭。

请注意，通过用位数组表示每个人的传递闭包，可以得到很好的恒定因子加速。假设您只有；那么您将使用单个64位int，如果在我的传递闭包中，则位为1，否则为0。然后，我们将的传递闭包中的所有内容添加到的那部分很快：我们只取 $n=64$ $i$ $i$ $i$ $j$ $c_j$ | = 。（二进制或运算。） $c_i$

对于，您必须将它们保留在数组中并进行一些算术运算，但是它比Object集要快得多。 $n > 64$

另外，我知道在最坏的情况下，大仍为 $O$ ，但是要在实践中击败它，您必须要复杂得多。该算法在稀疏图上也表现出色。 $O(n^3)$

— 高利贷
source

您可能会对集合使用链接列表表示形式，并且它们最终会共享共同的尾巴。

— 凯尔·巴特