与图灵机有关的有趣度量空间

在这个问题中，我们仅考虑在所有输入上都停止的图灵机。如果$k \in \mathbb{N}$然后通过$T_k$我们表示图灵机，其代码是$k$。

考虑以下功能

换句话说，是最小的图灵机的代码，它可以精确识别字符串现在我们可以定义以下地图$s(x,y)$$x,y.$

可以快速验证）在上引起度量空间（实际上是超度量）Σ ∗$d(x,y)$$\Sigma^{*}.$

现在，我想证明如果是一致连续的函数，那么对于每种递归语言L，也是递归的。$f:\Sigma^{*} \mapsto \Sigma^{*}$$f^{-1}(L)$

换句话说，让为一个映射，使得对于每个都有一个，使得对于字符串然后 然后我们需要证明是一种递归语言，因为L是递归的。ε > 0 δ > 0 X ，ý ＆Element; ＆Sigma; $f$$\epsilon > 0$$\delta > 0$$x,y \in \Sigma^{*}$ d （˚F （X ），˚F （ÿ ））< ε 。f − 1（L ）

现在，正如已经指出这个帖子一出来解决这个问题的办法就是表明，有一个图灵机给出字符串计算 ˚F （X ）$x \in \Sigma^{*}$$f(x).$

我坚持证明这一主张，并慢慢地想知道是否还有其他方法可以解决这个问题？

欢迎提示，建议和解决方案！

编辑：删除提示，发布我的解决方案。

这是我的解决方案。我们要选择一个参考点，其中˚F （X ）∈ 大号，并考虑从宇宙X和˚F （X ）的观点。事实证明，一个点的每个“邻居”都对应一个递归语言。所以L是f （x ）周围的邻域，并且x周围会有一些映射到它的邻域。该邻域是一种递归语言。$x$$f(x) \in L$$x$$f(x)$$L$$f(x)$$x$

引理。在这种情况下，当且仅当语言在每个字符串的附近时才是递归的。

证明。首先，解决一个递归语言，让X ∈ 大号。令K为L的决策者的最小指数。那么我们有，如果ÿ ∉ 大号，s ^ （X ，ÿ ）≤ ķ，所以d （X ，ÿ ）≥ 1 / 2 ķ。因此ð （X ，ÿ ）< 1 / 2 ķ意味着ÿ $L$$x \in L$$K$$L$$y \not \in L$$s(x,y) \leq K$$d(x,y) \geq 1/2^K$$d(x,y) < 1/2^K$。$y \in L$

其次，令为任意字符串并固定ε > 0；让ķ = ⌊ 日志（1 / ε ）⌋。令L K = { y ：d （x ，y ）< ε } ; 那么L K = { y ：s （x ，y ）> K }。然后我们可以写$x$$\varepsilon > 0$$K = \lfloor \log(1/\varepsilon) \rfloor$$L_K = \{y : d(x,y) < \varepsilon\}$$L_K = \{y : s(x,y) > K\}$

但是是可确定的：在输入y上，可以模拟x和y上的前K个决策器，并在且仅当每个接受或拒绝两个时都接受。$L_K$$y$$K$$x$$y$$~\square$

现在我们差不多完成了：

prop。令为连续的。如果大号是递归的，然后˚F - 1（大号）是递归的。$f$$L$$f^{-1}(L)$

证明。在连续功能下，邻域的原像是邻域。

有趣的是，我认为在这个空间中，连续函数是一致连续的：令为连续的，因此对于每个点x，对于每个ε，都存在一个对应的δ。固定的ε和让ķ = ⌊ 日志（1 / ε ）⌋。有尺寸的球的有限数目的ε：有大号（Ť 1）∪ 大号（Ť 2）⋯ ∪ 大号（Ť ķ） ; 然后有$f$$x$$\varepsilon$$\delta$$\varepsilon$$K = \lfloor \log(1/\varepsilon) \rfloor$$\varepsilon$$L(T_1) \cup L(T_2) \dots \cup L(T_K)$; 然后大号（Ť1）∪ ¯ 大号（Ť 2） ⋯∪大号（Ťķ），等等。˚F关联到每个这些语言的大号我原像语言大号 '我具有相关联的直径δ我。对于每个$\overline{L(T_1)} \cup L(T_2) \dots \cup L(T_K)$$L(T_1) \cup \overline{L(T_2)} \dots \cup L(T_K)$$f$$L_i$$L_i^{\prime}$$\delta_i$， d （X ，ÿ ）≤ δ $x \in L_i^{\prime}$。因此，我们可以对这些有限的多个 δ取最小值，以获得与此 ε相关的均匀连续常数 δ。$d(x,y) \leq \delta_i \implies d(f(x),f(y)) \leq \varepsilon$$\delta$$\delta$$\varepsilon$