如果P = NP，为什么和不会是NP完全的？

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显然，如果，在所有的语言除了和。将 -complete。 ${\sf P}={\sf NP}$ ${\sf P}$ $\emptyset$ $\Sigma^*$ ${\sf NP}$

为什么特别使用这两种语言？我们不能通过接受或不接受时通过输出它们来减少任何其他语言吗？ ${\sf P}$

complexity-theory np-complete reductions

— 大卫·福克斯（David Faux）
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由于中没有字符串，任何计算它的机器都会拒绝，因此我们无法将Yes-instance的其他问题映射到任何东西。类似地，对于，没有任何映射No-instances到。 $\emptyset$ $\Sigma^{\ast}$

— 卢克·马蒂森（Luke Mathieson）
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4

如果要证明比 “硬” ，则需要从问题到问题的多项式归约。我们通过将任何实例建立的多项式减少的成一个实例的使得当且仅当。 $A$ $B$ $B$ $A$ $x$ $A$ $f(x)$ $B$ $x∈A$ $f(x)∈B$

函数必须并且可以是多项式。如果并且是一个NP问题，则本身可以解决问题的问题并将任何嵌入到某个元素，并且将任何嵌入到某个不在元素。 $f$ $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ $A$ $f$ $A$ $x∈A$ $y$ $B$ $x\notin A$ $z$ $B$

如果是或则或不存在，否则上面的推理表明比难。 $B$ $∅$ $Σ^*$ $y$ $z$ $B$ $A$

— 疯狂
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请注意：先前的答案是可以的，但是您与正确的平凡简化方法相距不远：

如果那么任何都可以Karp归约为语言（只需将多项式中的每个映射为1，每个 to 0），这是一种稀疏的语言 $\sf{P} = \sf{NP}$ $L \in \sf{NP}$ $\{1\}$ $x \in L$ $x \notin L$

相反的方向：“如果完整的语言可以将Karp还原为稀疏集合，那么无疑会更有趣，并且被称为Mahaney定理： $\sf{NP}$ $\sf{P}=\sf{NP}$

令为常数，并设置使得对于所有，最多具有长度为字符串。如果是 -complete，则。 $c$ $A$ $n$ $A$ $n^c$ $n$ $A$ $\sf{NP}$ $\sf{P}=\sf{NP}$

— Vor
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