布尔矩阵中的孤岛计数

给定布尔矩阵X，令0项代表海洋，1项代表陆地。将一个岛定义为垂直或水平（但不是对角线）相邻的1个条目。$n \times m$$\mathrm X$$0$$1$$1$

最初的问题是计算给定矩阵中的孤岛数量。作者描述了一个递归解（内存）。$\mathcal{O}(nm)$

但是我没有尝试找到一种流式处理（从左到右，然后向下到下一行）的解决方案，该解决方案可以动态地计算具有或O（n ）或O（n + m ）内存的岛（没有限制）时间复杂度）。那可能吗？如果没有，我该如何证明？$\mathcal{O}(m)$$\mathcal{O}(n)$$\mathcal{O}(n+m)$

该count功能某些输入的预期输出的一些示例：

$count\begin{pmatrix} 010\\ 111\\ 010\\ \end{pmatrix} = 1; % count\begin{pmatrix} 101\\ 010\\ 101\\ \end{pmatrix} = 5; % count\begin{pmatrix} 111\\ 101\\ 111\\ \end{pmatrix} = 1;$

$count\begin{pmatrix} 1111100\\ 1000101\\ 1010001\\ 1011111\\ \end{pmatrix} = 2$

$count\begin{pmatrix} 101\\ 111\\ \end{pmatrix} = 1$

这是一个算法的示意图，该算法一次只在内存中保留两行，因此内存为。但是，由于您可以在矩阵转置上运行此算法而没有问题，因此实际的复杂度是O （min （m （n ，n ）））内存。处理时间为O （m n ）。$O(m)$$O(\min(m, n))$$O(mn)$

1. 初始化。扫描第一行，找到该行的所有连接的子字符串。为每个不相交的子字符串分配一个唯一的正ID，并将其另存为一个零向量（其中为零，否则为唯一的正ID）。$X$

2. 对于剩余的每一行，请再次为该行中的子字符串分配唯一ID（切勿重新分配以前的唯一ID，请确保您的ID严格增加）。以 x m矩阵查看上一行和当前行，并且应将任何连接的区域分配为最小。举个例子：$2$$m$

   $$\begin{array}0010402220333300\\ 506607080009990\end{array} \rightarrow \begin{array}0010402220333300\\ 504402020003330\end{array}$$

   无需为该算法的正确性更新前一行，只需更新当前一行即可。

   完成之后，找到上一行中未连接到下一行的所有ID的集合，并丢弃重复项。将此集合的大小添加到岛屿的运行计数器中。

   现在，您可以舍弃上一行，并将当前行分配给上一行，然后继续。

3. 为了正确处理最后一行，假装在的底部还有另一行零，然后再次运行步骤2。$X$

$O(n)$$O(n\log n)$$n=m$$\Omega(n)$

$x_1,\ldots,x_n$$y_1,\ldots,y_n$$i$$x_i=y_i=1$$2\times(2n-1)$$x_1,0,x_2,0,\ldots,0,x_n$$y_1,0,y_2,0,\ldots,0,y_n$$\sum_i x_i$$\sum_i (x_i+y_i)$$i$$\Omega(n)$$\Omega(n)$

$O(n)$$O(\log n)$$O(n)$