是否有一个非平凡类型等于它自己的派生类型？

一篇名为“常规类型的导数是其单孔上下文的类型”的文章显示，类型的“拉链”（即一个孔上下文）遵循类型代数中的微分规则。

我们有：

\begin{aligned} \partial_{x} x & \mapsto 1 \\ \partial_{x} 0 & \mapsto 0 \\ \partial_{x} 1 & \mapsto 0 \\ \partial_{x} (S + T) & \mapsto \partial_{x} S + \partial_{x} T \\ \partial_{x} (S \times T) & \mapsto \partial_{x} S \times T + S \times \partial_{x} T \end{aligned}

$\begin{align} \partial_x x &\mapsto 1 \\ \partial_x 0 &\mapsto 0 \\ \partial_x 1 &\mapsto 0 \\ \partial_x (S + T) &\mapsto \partial_x S + \partial_x T \\ \partial_x (S\times T) &\mapsto \partial_xS \times T + S \times \partial_x T \end{align}$

我们可以使用该模型来推导unit的导数为空，list的导数是两个列表的乘积（前缀时间后缀），依此类推。

一个自然的问题是，“它的派生类型是什么？” 当然，我们已经有 $\partial_x 0 \mapsto 0$ ，它告诉我们，无效（无人居住的类型）是它自己的导数，但是这是不是很有趣。这与以下事实相似：在普通的无穷小微积分中，零的导数为零。

是否有公式的其他解决方案？特别地，有一个模拟型代数？为什么或者为什么不？ $\partial_x T \mapsto T$ $\partial_x e^x = e^x$

type-theory algebra

— 马修·皮齐亚克（Matthew Piziak）
source

组合种类理论中存在，并且它对应于（有限）集合的种类，但是不对应于代数数据类型。

— 德里克·埃尔金斯

“平等”是什么意思？在您的世界中，

和

相等吗？如何

和

？

(S + T) \to U

$(S + T) \to U$

(S \to U) \times (T \to U)

$(S \to U) \times (T \to U)$

N

$\mathbb{N}$

L i s t (N)

$\mathsf{List}(\mathbb{N})$

— 安德烈·鲍尔

@AndrejBauer前者是，后者是。

等于迭代产品

在脑海中。就是说，我脑海中没有严格的类型相等模型，如果您有一个模型，可以指出我，我很乐于阅读。

L i s t (N)

$\mathsf{List}(\mathbb{N})$

1 + N + N \times N + N \times N \times N + \dots = \sum_{n = 0}^{\infty} N^{n}

$1 + \mathbb{N} + \mathbb{N} \times \mathbb{N} + \mathbb{N} \times \mathbb{N} \times \mathbb{N} + \ldots = \sum_{n=0}^{\infty} \mathbb{N}^{n}$

— 马修·皮兹亚克

@DerekElkins发生了，McBride的另一篇文章，叫做《我的左边的小丑》，《右边的小丑》指出，“对于有限结构，[拉链上的运算符的迭代]产生了数据类型的幂级数公式直接，从左到右找到所有元素。...因此与组合物种的概念有着重要的联系。” 因此，如果组合物种在这个问题的背景下也能发挥有趣的作用，我不会感到惊讶。

— 马修·皮兹亚克

@MatthewPiziak他们肯定会。布伦特Yorgey谈论了不少。另请参阅他的论文。

— 德里克·埃尔金斯

Answers:

考虑有限多重集。其元素由下式给出通过置换quotiented，使得任何。在这种情况下，元素的单孔上下文是什么？好吧，我们必须让来选择孔的位置，所以剩下剩下的 $\mathbf{Bag}\:X$ $\{x_1,\ldots,x_n\}$ $\{x_1,\ldots,x_n\}=\{x_{\pi 1},\ldots,x_{\pi n}\}$ $\pi\in\mathbf{S}_n$ $n>0$ $n-1$ 元素，但我们都不是明智之选。（这与列表不同，在列表中，选择孔的位置会将一个列表切成两部分，而第二个派生剪切将选择其中一个部分并将其进一步切掉，例如编辑器中的“点”和“标记”，但我离题了。）的单孔上下文因此是 $\mathbf{Bag}\:X$ 和每个 $\mathbf{Bag}\:X$ 可以这样出现。在空间上思考的导数 $\mathbf{Bag}\:X$ $\mathbf{Bag}\:X$ 应该是自己。

现在，

乙 一种 G X = \sum_{ñ \in ñ} X^{ñ} / {小号}_{ñ}

$\mathbf{Bag}\:X = \sum\limits_{n\in\mathbb{N}}X^n/\mathbf{S}_n$

选择元组大小的，与元组元素多达置换群阶，给我们准确的幂级数展开。 $n$ $n$ $n!$ $e^x$

天真的，我们可以通过一组形状和形状相关的位置族： $S$ $P$ 以便通过选择形状和从位置到元素的映射来指定容器。有了包包之类的东西，会有额外的变化。

\sum_{s ： 小号} X^{（ P s ）}

$\sum\limits_{s:S}X^{(P\,s)}$

所述袋的“形状”是一些 ; “位置”是，大小为的有限集合，但是在从进行置换的情况下，从位置到元素的映射必须是不变的 $n\in\mathbb{N}$ $\{1,\ldots,n\}$ $n$ $\mathbf{S}_n$ 。应该没有办法接近“检测”其元素排列的袋子。

东米德兰兹集装箱协会在2004年程序构造数学中的“构造具有商型的多态程序”中描述了此类结构。商容器通过允许自同构小组对位置进行作用来扩展我们对结构的常规分析，包括“形状”和“位置” ，使我们能够考虑结构，诸如无序对，与衍生物。无序元组由，以及它的导数（当是无序 $X^2/2$ $X$ $n$ $X^n/n!$ $n>0$ $n-1$ 元组）。袋子占这些的总和。我们可以使用循环元组进行类似的游戏，其中选择孔的位置将旋转钉到一个点，剩下 $n$ $X^n/n$ $X^{n-1}$ ，即较小的元组，没有排列。

一般来说，“类型划分”很难理解，但是排列组的商（例如组合物种）确实有意义，并且很有趣。（练习：制定的结构感应原理为无序对数的， $\mathbb{N}^2/2$ ，并用它来执行加法和乘法，使他们通过交换结构。）

容器的“形状和位置”特征对这两者均没有限制。组合物种倾向于按大小而不是形状进行组织，这相当于在每个指数中收集项并计算系数。具有有限位置集的商容器和组合物种基本上是同一物质上的不同自旋。

— 猪工
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原始作者出现！感谢您前来给我们展示这个美丽的结果。

— 马修·皮兹亚克

如何无限的总和所述衍生物是

\sum_{一世 ， Ĵ \in ñ} X^{一世} ？

$\sum_{i, j \in \mathbb{N}} X^i ?$

\sum_{一世 ， Ĵ \in ñ} \underset{一世 + 1个}{\underset{⏟}{X^{一世} + \dots + X^{一世}}}

$\sum_{i, j \in \mathbb{N}} \underbrace{X^i + \cdots + X^i}_{i+1}$ ，其是通过结合性和资金的交换性等于原始。

而且，无限总和等于），所以我们可以尝试来计算使用列表衍生物。 $\sum_{j \in \mathbb{N}} \mathsf{List}(X)$

— 安德烈·鲍尔（Andrej Bauer）
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列表的派生词是一对列表（前缀时间后缀）。根据求和规则，列表列表的派生形式为列表对列表。列表对列表与列表列表同构吗？

— 马修·皮兹亚克

@MatthewPiziak也许它更容易想到的第一制剂作为

。服用衍生物，我们得到

（与用于明显的意义

）。现在，我们只需要

。对我来说，这看起来有点（非常非正式地）类似于

，除了幂级数的系数选择为

\sum_{i \in N} N \times X^{i}

$\sum_{i\in \mathbb{N}} \mathbb{N}\times X^i$

\sum_{i \in N} i \times N \times X^{i}

$\sum_{i\in \mathbb{N}} i\times \mathbb{N}\times X^i$

i

$i$

N ≃ i \times N

$\mathbb{N}\simeq i\times \mathbb{N}$

e^{x} = \sum_{i} x^{i} / n!

$e^x = \sum_i x^i/n!$

+ \infty

$+\infty$ （即，

），以使它们能满足

在世界上没有分裂。

N

$\mathbb{N}$

a_{n} = (n + 1) \cdot a_{n + 1}

$a_{n} = (n+1) \cdot a_{n+1}$

— 志

@MatthewPiziak糟糕，我写了

而不是

，但我认为我的意思很清楚。

n

$n$

i

$i$

— 志