利用线性约束最大化凸函数

maximize f (x) subject to A x = b

$\text{maximize } f(\mathbf{x}) \quad\text{subject to } \mathbf{Ax} = \mathbf{b}$

哪里

f (x) = \sum_{i = 1}^{N} \sqrt{1 + \frac{x_{i}^{4}}{{(\sum_{i = 1}^{N} x_{i}^{2})}^{2}}},

$f(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^N\sqrt{1+\frac{x_i^4}{\left(\sum_{i=1}^{N}x_i^2\right)^2}},$

$\mathbf{x} = [x_1,x_2,...,x_N]^T \in \mathbb{R}^{N\times 1}$ 和。 $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{M\times N}$

我们可以看到是凸的，形式为。还可以证明在是有界的。我知道，凸极大化问题通常是NP难的。 $f$ $\sqrt{1+y^2}$ $f$ $[\sqrt{2}, 2]$

但是，使用问题的特定性质，是否可以使用任何标准的凸优化软件/软件包来解决？

optimization

— 苏拉杰
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有两个求和，一个在另一个内，使用相同的“循环变量”

。从上下文来看，

用途似乎很清楚，但是请为清楚起见进行修复。

i

$i$

i

$i$

— j_random_hacker

是的，具有等式约束的凸优化通常是NP-Hard。但是，有一些成熟的技术可以找到凸优化问题的很好的近似解，例如“坐标下降”。

假设您使用坐标下降，并且矩阵A的等级为。可以修复的可行的解决方案的NK-1坐标，然后在解空间被唯一地由一个确定的解向量坐标，例如。在这种情况下，您可以只求关于的导数，以找到此迭代中的最大值。 $k$ $x = (x_1, x_2, x_3, ..., x_n)$ $x_i$ $f(\cdot)$ $x_i$

然后，我们迭代地固定nk-1坐标并改进解，直到找到近似最佳的坐标为止。

— 斯特林
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@RodrigodeAzevedo：凸优化的特殊情况LP比一般情况更容易，这并不矛盾也不令人惊讶。

— j_random_hacker