头尾之间的差异

考虑无偏硬币的$n$翻转序列。令$H_i$表示在第一个$i$翻转中看到的超过头的数量的绝对值。定义$H=\text{max}_i H_i$。证明$E[H_i]=\Theta ( \sqrt{i} )$和$E[H]=\Theta( \sqrt{n} )$。

这个问题出现在Raghavan和Motwani撰写的“随机化算法”的第一章中，因此上面的陈述也许有基本的证明。我无法解决它，所以我将不胜感激。

您的硬币翻起形成的一维随机游走$X_0,X_1,\ldots$开始在$X_0 = 0$，其中$X_{i+1} = X_i \pm 1$，每一个与概率的选项$1/2$。现在，$H_i = |X_i|$因此$H_i^2 = X_i^2$。容易计算$E[X_i^2] = i$（这只是方差），等等$E[H_i] \leq \sqrt{E[H_i^2]} = \sqrt{i}$来自凸性。我们也知道，$X_i$被分配大致正常，零均值和方差$i$，所以你可以计算$E[H_i] \approx \sqrt{(2/\pi)i}$。

$E[\max_{i \leq n} H_i]$$\sqrt{n}$$\tilde{O}(\sqrt{n})$$X_i$$X_i$

编辑：由于反射原理，，请参见此问题。因此 因为。现在 因此$\Pr[\max_{i \leq n} X_i = k] = \Pr[X_n = k] + \Pr[X_n = k+1]$

$$\begin{align*} E[\max_{i \leq n} X_i] &= \sum_{k \geq 0} k(\Pr[X_n = k] + \Pr[X_n = k+1]) \\ &= \sum_{k \geq 1} (2k-1) \Pr[X_n = k] \\ &= \sum_{k \geq 1} 2k \Pr[X_n = k] - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\Pr[X_n = 0] \\ &= E[H_n] + \Theta(1), \end{align*}$$ $\Pr[H_n = k] = \Pr[X_n = k] + \Pr[X_n = -k] = 2\Pr[X_n = k]$ $$\frac{\max_{i \leq n} X_i + \max_{i \leq n} (-X_i)}{2} \leq \max_{i \leq n} H_i \leq \max_{i \leq n} X_i + \max_{i \leq n} (-X_i),$$ $E[\max_{i \leq n} H_i] \leq 2E[H_n] + \Theta(1) = O(\sqrt{n})$。另一个方向是相似的。

您可以使用 半正态分布来证明答案。

半正态分布表示，如果是均值为0且方差正态分布，则遵循均值和方差的一半分布。这给出了所需的答案，因为正态游动的方差为，并且您可以使用中心极限定理将的分布近似为正态分布。$X$$\sigma^2$$|X|$$\sigma \sqrt{\frac{2}{\pi}}$$\sigma^2 (1-2/\pi)$$\sigma^2$$n$$X$

$X$是Yuval Filmus提到的随机游动的总和。

在前翻转中，假设我们得到尾巴，然后。因此， 使用斯特林近似，我们知道。$2i$$k$$H_{2i}=2|i-k|$

$$\begin{align} E(H_{2i}) & =2\sum_{k=0}^{i}\binom{2i}{k}(\frac{1}{2})^{2i}\cdot 2(i-k)\\ & = (\frac{1}{2})^{2i-2}\left[i\sum_{k=0}^{i}\binom{2i}{k}-\sum_{k=0}^ik\binom{2i}{k}\right]\\ & = (\frac{1}{2})^{2i-2}\left[i\left(2^{2i}+\binom{2i}{i}\right)/2-2i\sum_{k=0}^{i-1}\binom{2i-1}{k}\right]\\ & = (\frac{1}{2})^{2i-2}\cdot i\left[2^{2i-1}+\binom{2i}{i}/2-2\cdot 2^{2i-1}/2\right]\\ & = 2i\cdot\binom{2i}{i}/2^{2i}. \end{align}$$ $E(H_{2i})=\Theta(\sqrt{2i})$