为什么我们要进行同构，自同构和同构？

简单外行语言中这三个术语同构，自同构和同构之间的主要区别是什么？为什么我们要进行同构，自同构和同构？

同构使形式相等的图正式化。例如，在此图上，您看到三个同构图

更正式地，曲线图的一个同构和G ^ 2是一个双射˚F ：V （G ^ 1）↦ V （G ^ 2），保留邻接。也就是说：$G_1$$G_2$$f:V(G_1) \mapsto V(G_2)$

不难为图片上的每对图找到这样的双射。

现在，如果则获得的映射变为自同构-从图到自身的同构。$G_1 = G_2$

您可能会问，图形自同构的直观概念是什么，答案是它为您提供了某种信息，这些信息涉及图形中的哪些顶点“等效”。换句话说，如果存在图G的的自同构，使得顶点v映射到顶点u，则u和v的邻域“看起来”相同。$f$$G$$v$$u$$u$$v$

$G$$u,v \in V(G)$$f:V(G) \mapsto V(G)$$f(u) = v.$

如您所见，图形“看起来”非常对称。正是因为它具有所描述类型的“许多”自同构性。

图同态通常不为外行所研究，或多或少具有理论目的。例如，它们与顶点着色的概念密切相关。 另请参阅哈德维格猜想

$h:G\rightarrow G'$$G=(V,E)$$G'=(V',E')$$e=(u,v) \in E$$(h(u),h(v))\in E'$

现在，图同构是双射同构，这意味着它的逆同构也是同构。如果两个图是同构的，则它们本质上是同一图，只是重新标记了顶点。确定两个图是否彼此同构的问题是复杂性理论中的重要问题。

最后，自同构是从图到自身的同构。