Lambda微积分中的“应用顺序”和“正常顺序”

应用顺序：在评估函数本身之前，请始终充分评估函数的参数，例如-

$(\lambda x. x^2(\lambda x.(x+1) \ \ 2))) \rightarrow (\lambda x. x^2(2+1))\rightarrow \ (\lambda x. x^2(3)) \rightarrow \ 3^2 \ \rightarrow \ 9$

正常顺序：表达式将从外部减少，如-

$(\lambda x.x^2 (\lambda x.(x+1) \ 2)) \rightarrow \ (\lambda x.(x+1) \ \ \ 2)^ 2 \rightarrow\ (2+1)^2 \ \rightarrow 3^2 \ \rightarrow \ 9$

让$M = (\lambda x.y \ (\lambda x.(x \ \ x) \ \lambda x.(x \ \ x)))$

为什么在应用顺序 无限循环， 而在正常顺序M → y下？$M \rightarrow$
$M \rightarrow y$

$(\lambda x.y \ (\lambda x.(x \ \ x) \ \lambda x.(x \ \ x)))$

$(K_y \Omega)$$K_y$$\lambda x. y$$y$$\Omega = (\lambda x. (x \, x) \: \lambda x. (x \, x))$$\Omega$$\Omega \to \Omega$

$\Omega$$M$$M \Omega \to M \Omega$

$K_y$$K_y$$(K_y \Omega) \to y$$K_y N \to y$$N$

这种情况说明了一个更普遍的现象：如果该术语严格归一化，那么应用阶约简只会找到一种范式，而如果存在一则正规阶约简总是找到该范式。之所以会发生这种情况，是因为应用顺序始终总是首先对完全参数进行求值，因此错过了参数未使用的机会。而正常顺序会尽可能晚地计算参数，因此，如果参数未使用，则总是赢。

（另一面是，应用顺序在实践中趋于更快，因为很少有不使用参数的情况；而多次使用一个参数是很常见的，而在应用顺序下，该参数仅被评估一次。正常order会根据其使用频率（0、1或多次）对参数进行计算。）