递归在可计算性理论中的重要性

据说可计算性理论也称为递归理论。为什么这样称呼它？为什么递归如此重要？

在1920年代和1930年代，人们试图弄清楚“有效地计算功能”是什么意思（请记住，周围没有通用的计算机，而计算是人为完成的）。

提出了“可计算”的几个定义，其中三个最为人所知：

1. 该演算$\lambda$
2. 递归函数
3. 图灵机

事实证明，这些定义了同一类的数论函数。由于递归函数比Turing机器更旧，并且甚至没有立即接受甚至更老的 -calculus作为可计算性的适当概念，因此形容词“递归”被广泛使用（递归函数，递归集，递归可枚举集等）。$\lambda$

后来，有一项由Robert Soare推广的努力，将“递归”更改为“可计算”。因此，如今我们谈论可计算的功能和可计算的集合。但是，许多较旧的教科书和许多人仍然喜欢“递归”术语。

历史这么多。从纯数学的角度来看，我们还可以问递归对于计算是否重要？答案是非常明确的“是！”。递归是通用编程语言的基础（即使while循环也while p do c与相同，所以循环只是递归的一种形式if p then (c; while p do c)），并且许多基本数据结构（如列表和树）都是递归的。在计算机科学中，特别是在可计算性理论中，递归是不可避免的。

可计算性理论是对可计算函数的研究：-)。

此类功能通常（在该社区中）定义为可以用图灵机表达的功能。

更正式地讲，函数如果存在图灵，则是可计算的，因此，如果的输入为，则的输出为$f: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$$T$$T$$x = 1^n$$T$$1^{f(x)}.$

事实证明，如果您以这种方式定义可计算函数（程序），它们等同于可以使用此处描述的规则获得的一组函数 。它们被称为递归函数，因为获得此类函数的规则之一是递归定义（请参阅Wikipedia的第5条规则）。

因此，递归理论如此重要的原因等同于为什么可计算函数如此重要的问题。后者的答案应该很明显:)