从三分区问题减少到平衡分区问题

3分区问题询问是否一组整数可以被划分为Ñ使得每个组总结了一些给定的整数集合的三个整数乙。平衡分区问题询问是否可以将2 n个整数划分为两个相等的基数集合，以使两个集合具有相同的总和。已知这两个问题都是NP完全的。但是，3分区是完全NP完全的。在文献中，我还没有看到从3分区到平衡分区的任何减少。$3n$$n$$B$$2n$

我正在寻找从3分区到平衡分区问题的（简单）减少方法。

文献中有成千上万个NP完全问题，并且大多数对没有明显的减少。由于多项式时间多一归约运算构成，因此只要已发布的归约图紧密相关，研究人员就可以停止，从而使NP完整性的研究更具可扩展性。

尽管我真的不明白这一点，但我会通过从3-PARTITION到BALANCED PARTITION的一个简单的简化来使您感到幽默，并提供一些有关正确性证明如何进行的提示。

让输入到减速是，3- PARTITION的一个实例。验证Σ 我∈ [ 3 Ñ ] X 我 = Ñ 乙。设β为大数，待以后选择。对于每一个我∈ [ 3 Ñ ]和每Ĵ ∈ [ Ñ ]，输出两个数 X 我β Ĵ + β Ñ $x_1, \ldots, x_{3n}, B \in \mathbb Z$$\sum_{i\in[3n]} x_i = nB$$\beta$$i \in [3n]$$j \in [n]$ 直观地，第一个数字表示将 x i分配给3分区 j，第二个数字表示相反的数字。的 X 我β Ĵ术语被用于跟踪3-分区的总和 Ĵ。的 β Ñ + Ĵ术语被用于跟踪3-分区的基数 Ĵ。所述 β 2 Ñ + 我术语用来确保每个 X 我被分配一次。该 β

$$x_i \beta^j + \beta^{n+j} + \beta^{2n+i} + \beta^{(i+4)n+j}\\ \beta^{(i+4)n+j}.$$ $x_i$$j$$x_i \beta^j$$j$$\beta^{n+j}$$j$$\beta^{2n+i}$$x_i$项用于强制这些数字进入不同的平衡分区。$\beta^{(i+4)n+j}$

输出的两个更多的数字 第一个数字标识其平衡分区为“ true”，另一个为“ false”。在 1个术语用于这些数字强行进入不同的平衡分区。其他项弥补了3分区之和与它的补数之和与3分区的大小，其补数的大小以及 x i分配次数之间的差。

$$1 + \sum_{j\in[n]} \Bigl((n-2)B\beta^j + (3n-6)\beta^{n+j}\Bigr) + \sum_{i\in[3n]} (n-2)\beta^{2n+i}\\ 1.$$ $1$$x_i$

应选择足够大以确保不会发生“溢出”。$\beta$

安德里亚斯·埃米尔·费尔德曼（Andreas Emil Feldmann）撰写的这篇《即使在网格和树上也很难实现快速平衡分区》包含了您想要的！祝好运！

$k$