“子产品”问题NP是否完整？

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子集和问题是经典的NP完全问题：

给定一个数字和一个目标的列表，是否有一个的数字子集加起来等于？ $L$ $k$ $L$ $k$

一个学生问我这个称为“子集产品”问题的变体是否是NP完全的：

给定一个数字和一个目标的列表，是否有数字的子集，乘积为？ $L$ $k$ $L$ $k$

我进行了一些搜索，但是找不到任何有关此问题的资源，尽管也许我错过了。

子产品问题NP是否完整？

complexity-theory np-complete reductions

— templatetypedef
source

2

有趣的答案，但我想知道：我们是否不能仅通过对k和所有数字取对数来求和？（也许我应该问一个单独的问题？）

— j_random_hacker 2014年

1

@j_random_hacker，是的，如果您在此站点上在线搜索后找不到答案，建议您发布一个单独的问题。这是一个很好的问题，答案很好（提示：获取日志会给您带来一些非整数的影响；换句话说，请考虑对数字大小取幂是什么），但这有点切线并且在自己的问题上会更好。

— DW

1

@DW：谢谢，我有空的时候我会按照你的建议去做！

— j_random_hacker 2014年

Answers:

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评论提到归因于Yao的X3C减少到SUBSET PRODUCT。有了减少的目标，就不难猜测减少的幅度是多少。

定义：

精确覆盖3套（X3C）

给定一个具有的有限集3的倍数，和收集的3元素子集的，并包含一个确切的盖为，其中和中的每个元素在只出现一次？ $X$ $|X|$ $C$ $X$ $C$ $C'$ $X$ $C' \subseteq C$ $X$ $C'$

子集产品

给定一个数字和一个目标的列表，是否有数字的子集，乘积为？ $L$ $k$ $L$ $k$

要将X3C实例简化为SUBSET PRODUCT实例：

在的成员和第一个的成员之间建立双射映射质数。用映射的素数替换和子集的成员。 $X$ $|X|$ $X$ $C$
对于每个子集，将其成员相乘；SUBSET PRODUCT实例的结果产品列表为因为在第1步中将质数用于映射，所以如果子集通过唯一因式分解定理等效，则保证乘积是等效的。 $C$ $L$
将的成员相乘；结果产品是SUBSET PRODUCT实例的值。 $X$ $k$

的素数恰好是的成员。数字的质数因子恰好对应于个子集的成员。因此，通过将的解决方案成员映射回的子集，可以将新SUBSET PRODUCT实例的任何解决方案转换为X3C解决方案。 $k$ $X$ $L$ $C$ $L$ $C$

$|X|$ $X$ $|X|$ $|X|$ $O(|X|^2 \ln |X|)$

— 凯尔·琼斯（Kyle Jones）
source

1

+1，但要进行归约，我认为我们要求第一个| X | 质数可以用| X |中多项式的位数表示 -我对此是否正确，如果可以，我们有保证吗？

— j_random_hacker 2014年

1

优点。我添加了一个段落来解决这个问题。

— 凯尔·琼斯

1

谢谢，那个定理巩固了它！并不是要挑剔，而是根据您链接到的页面，第k个素数约为k log k，并且假定Eratosthenes的Sieve显然计算出时间为O（n log log n）直至n的所有素数，代入n = k log k似乎给出的时间为O（k * log（k）* log（log（k log k））），而不是O（k）（您的O（| X |）），以计算第一个k以这种方式灌注。

— j_random_hacker 2014年

1

k

$k$

3

k

$k$

k

$k$

| X |

$|X|$

O (n^{2})

$O(n^2)$

k

$k$

P

$P$

X

$X$

k

$k$

O (\log P)

$O(\log P)$

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根据[ 1 ]：是的

我还引用了相同的参考文献：注释：此问题和问题42之间存在细微的技术区别：前一种情况具有伪有效算法，该算法通过允许数字以一元表示来获得；除非所有的NP完全问题都能通过快速算法解决，但是，即使使用这种不合理的输入表示形式，“子集乘积问题”也无法通过“有效”的方法解决。

看一下[2]的减少。[2]：Fellows，Michael和Neal Koblitz。“固定参数的复杂性和密码学。” 应用代数，代数算法和纠错码（1993）：121-131。

— 阿杰德
source

1

如果可能，在期刊文章中实际减少或引用会很好。

— templatetypedef

3

@templatetypedef在Garey和Johnson中，减少了3套。由于与姚明的私人交流。

— 2013年

密码纸的减少是针对另一个问题的，在该问题中，目标产品被同余物替换为目标数，该目标数是实例中给定的模数。（尽管如果我正确理解了证明，则无论如何它们都只会获得较弱的硬度，因为模量是指数级的。）

— Jeffrey Bosboom

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