生成树问题的NP完整性证明

我正在寻找老师提出的问题中的一些提示。

所以我才发现这个决策问题是：$\sf{NP\text{-}complete}$

在图，是否有在生成树包含确切组作为叶子。我发现我们可以通过减少汉密尔顿路径到这个决策问题来证明它是。G S = { x 1，x 2，… ，x n } N P - c o m p l e t $G$$G$$S=\{x_1, x_2,\ldots, x_n\}$$\sf{NP\text{-}complete}$

但是我的老师也在课堂上问我们：

将它也是，如果不是“精确一套 ”，我们做$\sf{NP\text{-}complete}$$S$

“包括的整个集合，并可能包括其他叶子”或“子集”$S$$S$

我认为“ S的子集”将是，但是我无法证明这一点，不知道有什么问题可以解决。至于“包括的集合……”，我认为可以在多项式时间内求解。$\sf{NP\text{-}complete}$$S$

简而言之，您的猜测是正确的。出于此答案的目的，让我们将以下三个问题称为：

• 平等版本：给定一个图和一组，决定是否具有生成树使得在该组叶等于。如您所述，通过减少哈密顿路径问题，这是NP完全的。小号⊆ V ģ Ť Ť $G = (V, E)$$S \subseteq V$$G$$T$$T$$S$
• 子集版本：鉴于和如上，决定是否有生成树使得该组叶的的一个子集。S G T T $G$$S$$G$$T$$T$$S$
• 超版：鉴于和如上，决定是否有生成树使得该组叶的是的超。S G T T $G$$S$$G$$T$$T$$S$

要证明子集版本是NP完全的，您仍然可以将其简化为Hamitonian路径问题。尝试修改等价版本NP完整性的证明。

为了证明超集版本可以在多项式时间内求解，请尝试找到存在这种树充要条件。$T$

在[SK05]中研究了这两个版本（以及有关生成树的其他一些问题）。但是我想如果您在查看论文的证据之前尝试自己解决问题会更好，因为查看论文可能会破坏很多人。不幸的是，在尝试为超集版本找到多项式时间算法之前，我已经看过这篇论文！

[SK05] Mohammad Sohel Rahman和Mohammad Kaykobad。生成树上一些有趣问题的复杂性。 信息处理快报，94（2）：93-97，2005年4月。[ doi ] [ 作者副本 ]

这些提示不足以让我找到S问题超集的解决方案-尽管这些提示是有用且正确的。这是我的思路，这使我找到了解决方案。

如果从G（VS）中删除S中的所有顶点，然后找到带有DFS的生成树T，会发生什么？如果G中还有尚未连接的顶点，请说v1；否则，请说v1。那对于被移除的S中至少一个顶点的作用有什么看法？它位于从当前在生成树中的某个顶点到v1的路径中。因此，它不能是叶子（因为叶子没有子代）。如果没有未连接的节点，则意味着S中的每个顶点都可以是叶，只要它具有通向生成树的边即可。S中仅连接到S中其他顶点的顶点当然不会与生成树建立连接，并且会违反条件。因此，有两种情况需要检查：

1. 如果从G中删除S并找到生成树后，所有不在S中的节点都已连接
2. 是否可以将S中的每个节点直接连接到生成树。