证明有向图诊断很困难

我有一段时间一直在做作业，我一直在努力，对此我将不胜感激。这是关于选择一个已知问题的，该问题的NP完全性得到证明，然后构造从该问题到下一个问题的归约关系，我将其称为DGD（有向图诊断）。

问题

DGD 一个实例由顶点V = I组成。∪ Ø 。∪乙，向边Ë和一个正整数ķ。共有三种类型的顶点：仅具有输入边I的顶点，仅具有输出边O的顶点和具有输入和输出边B的顶点。此外，令D ＝O × I。$(V,E,k)$$V = I \overset{.}{\cup} O \overset{.}{\cup} B$$E$$k$$I$$O$$B$$D=O\times I$

现在的问题是，我们是否可以覆盖最多D个元素的所有节点，即$k$$D$

$\qquad \displaystyle \exists\,S\subseteq D, |S|\leq k.\ \forall\, v\in V.\ \exists\,(v_1,v_2) \in S.\ v_1 \to^* v \to^* v_2$

其中表示从a到b的定向路径。$a\to^* b$$a$$b$

我认为控制集问题是我应该避免的问题，因为这也涉及用另一子集覆盖节点的子集。我尝试通过首先为控制集的每个元素创建两个节点，复制所有边，然后将DGD实例的设置为与DS实例的k相等来创建DGD实例。$k$

假设一个简单的DS-实例与节点，2和3和边缘（1 ，2 ）和（1 ，3 ）。这是一个yes实例，其中k = 1；在这种情况下，支配集仅由节点1组成。用刚才描述的方法进行简化，这将导致DGD实例具有两条路径（1 → 2 → 1 '）和（1 → 3 → 1 '$1$$2$$3$$(1,2)$$(1,3)$$k = 1$$1$$(1 \to 2 \to 1')$$(1 \to 3 \to 1')$; 覆盖所有节点，只是一对就足够了。如果不是不能以多项式时间确定DS实例的主导集这一事实，那么这将是完美的，这是必须的。$(1, 1')$

我发现有很多好看方式转变的边缘，减少顶点的时候，但我的问题是某种表达DGD的在DS的方面ķ。统治集合似乎可以减少一个合适的问题，但是由于这个原因，我认为也许我应该尝试减少没有这样k的问题？$k$$k$$k$

减少从NP完成的SET-COVER。

让与ķ ∈ Ñ机盖的一个实例。定义一个实例（V ，ê ，ķ '） DGD的是这样的：$S_1,\dots,S_m \subseteq\{1,\dots,n\}$$k\in\mathbb{N}$$(V,E,k')$

• $V= \{s_1,\dots,s_m,o_1,\dots,o_m,e_1,\dots,e_n,o\}$
• $E= \{(s_i,o_i) \mid i = 1,\dots,n \} \cup \{(s_i,e_j)\mid j \in S_i\} \cup\{(e_j,o)\mid j=1,\dots,n\}$
• $k' = m + k$

很容易看出，当且仅当给定的set Cover实例具有肯定答案时，构造的DGD实例才具有肯定答案。特别是，所有双（š 我，ö 我）必须不管选择什么，以便覆盖所有ö 我 ; 然后ķ所述的米双（š 我，ö ）必须覆盖所有的ë Ĵ，以及那些选择的所述第一部件是SET-COVER实例的溶液。如果没有这种选择，那么SET-COVER实例也没有解决方案。$m$$(s_i,o_i)$$o_i$$k$$m$$(s_i,o)$$e_j$

由于施工在多项式时间内是可能的，这证明SET-COVER DGD。$\leq_p$

作为一个例子，考虑在给定的例子机盖实例维基百科，即和集合小号= { { 1 ，2 ，3 } ，{ 2 ，4 } ，{ 3 ，4 } ，{ 4 ，5 } }。转换为下图：$\{1,2,3,4,5\}$$S=\{\{1,2,3\},\{2,4\},\{3,4\},\{4,5\}\}$

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