是否有任何不可计算的可数集合？

如果集合具有自然数的双射数，则该集合是可计数的；如果存在枚举其成员的算法，则该集合是可计算的（ce）。

由于我们可以从枚举构造双射，因此任何非有限的可计算枚举集都必须是可数的。

是否有一些不可计算的可数集示例？也就是说，存在该集合与自然数之间的双射，但是没有算法可以计算该双射。

computability semi-decidability

— 彼得·奥尔森
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预先设定的术语可以计算得出。许多人会说“可数”和“可数”是同义词。我相应地编辑了问题。

— 安德烈·鲍尔

@AndrejBauer，可计算和递归是同义词，对吗？

— rus9384

@ rus9384是的。关于词汇，如罗伯特·欧文·索亚尔（Robert Irving Soare）在《图灵后相对论可计算性和交互式计算》（2011）中所写：到那时

— David Tonhofer

Answers:

有没有不可枚举的可数集的示例？

是。自然数的所有子集都是可数的，但并非所有数字都是可数的。（证明：子集数量众多，但图灵机可以用作枚举器的数量却不计其数。）因此，您已经知道不可递归枚举的任何子集就是一个例子–例如所有编码图灵的数字的集合每次输入停止的机器。 $\mathbb{N}$ $\mathbb{N}$

— 大卫·里希比
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@JorgePerez 不，不。

— David Richerby

这证明存在，但不举一个例子..

— BlueRaja -丹尼Pflughoeft

@ BlueRaja-DannyPflughoeft，举一个例子与列举一个例子相同。“你能举一些你不能举的例子吗？不？所以没有什么你不能举一个例子的。” 简而言之，这就是数学建构主义。

— 通配符

繁忙的海狸功能

的图像会是这样的集合吗？由于

严格增加，因此它很容易与

形成双射，但是没有图灵机可以枚举

。

Σ

$\Sigma$

Σ

$\Sigma$

N

$\mathbb{N}$

Σ

$\Sigma$

— orlp

@Wildcard不，举一个例子与定义一个例子是一样的，不是吗？有可以定义但不能由算法枚举的集合，例如所有不停止的图灵机的集合。

— Tanner Swett

是的，每种不确定（非决定性）语言都具有此属性。

例如，考虑集合。 $L = \{(x,M) \mid M \text{ does not halt on input } x \}$

假设我们有一种算法可以枚举此集合的成员。如果存在这样的算法，我们可以使用以下算法来解决输入的停止问题： $x,M$

在运行机器的上连续执行步骤，并枚举第个成员。 $M$ $n$ $x$ $n$ $L$

停止或不停止。如果它停止，最终我们将在达到停止状态的位置找到。如果它没有停止，那么最终我们将在枚举中达到。 $M$ $x$ $n$ $(M,x)$

因此，我们有一个约简，我们可以得出结论，不存在这种枚举。

请注意，此类枚举可存在于半确定性问题中。例如，您可以通过枚举步后枚举所有Turing Machine执行的所有可能轨迹来枚举所有暂停机器输入对的集合，并过滤掉未处于暂停状态的机器。 $n$

— m
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难道没有复杂性无法计数的语言吗？

— rus9384

@ rus9384我不确定您的意思。“不可数”是度量大小；“复杂性”是衡量决策难度的一种度量。但是没有有限字符串的不可数语言：如果您希望一种不可数的语言，则必须允许无限字符串（或不可数的“字母”，或两者都允许）。

— David Richerby

@DavidRicherby，好吧，jmite声称每个不确定的问题都使用有限的字符串进行运算吗？我认为，这仅适用于每个图灵可识别的不确定问题。

— rus9384

@ rus9384有限字母上的任何语言都是可数的，并且可计算性通常会忽略无限字母。另请参阅此问题。

— jmite

@ rus9384是的，语言是在有限字母上的一组有限字符串。任何这样的事情都是可数的。如果要获得一种不可数的语言，则需要从该定义中删除“有限”的一个或两个实例。但是，如果有人只是说“语言”，则表示在某些有限字母上的一组有限字符串。

— David Richerby

在可计算性理论，我们处理的子集，其中。这种语言是可数无穷的，所以任何集是可数的。此外，有许多不确定的但递归可枚举的语言，其补语不可递归可枚举。这些语言是子集，因此是可数的。 $\Sigma^*$ $\Sigma = \{0,1\}$ $L \subseteq \Sigma^*$ $\Sigma^*$

— fade2black
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我们不一定要处理二进制字符串。在很多情况下，我们可能会对字符串而不是其他字母感兴趣，而那些将可计算性称为“递归理论”的人倾向于直接处理自然数集。（也就是说，数字本身被视为原始数字，而不是被编码为例如二进制字符串。）

— David Richerby

@DavidRicherby几周前，您在Yuvals答案的评论中向我提出了相反的要求。这不是第一个类似的情况。

— fade2black

Yuval发布了很多答案，我发布了很多评论，因此您必须更加具体。我当然支持我的上述评论，因此，如果我在某个时候说了相反的话，那么我要么错了，要么感到困惑，或者您误解了我，或者我在谈论某些特定的情况或类似的情况。如果您感到困惑，对不起，尤其是我说了不清楚或不正确的话！

— David Richerby

@DavidRicherby，实际上每个有限字母都可以简化为二进制，所以，我不知道这有什么用。还是在这种情况下我们有无数个无限字母（每个数字都有唯一的符号）？

— rus9384

{0, 1}

$\{0,1\}$