在两个或三个查询中找到一个多项式

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黑框表示我可以在任意点求值多项式。 $f(x)$ $f(x)$

输入：度为的单项多项式的黑盒。 $f(x) \in\mathbb{Z}^+[x]$ $d$
输出：多项式的系数。 $d$ $f(x)$

我的算法：让

f (x) = x^{d} + a_{d - 1} x^{d - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}

$f(x) = x^{d} + a_{d-1} x^{d-1} + \cdots + a_1 x + a_0$

评价多项式在使用黑盒子的许多点，并得到线性方程的系统。现在，我可以求解线性方程组以获得所需的系数。 $\mathcal{f(x)}$ $d$

但是，在这种情况下，我需要许多对黑匣子的查询。我想减少查询数量。有什么方法可以将查询数量减少到两个或三个吗？ $\mathcal{O(d)}$

algorithms polynomials

— 复杂
source

2

您一直在改变问题。也许您应该先决定您的问题，然后再提出。否则，对于答录器可能会有些沮丧。

— Yuval Filmus

2

这是什么

手段？

Z^{+}

$\mathbb{Z}^+$

— md5

1

正整数集

— 复杂度

1

顺便说一下，对于您的算法，可以使用拉格朗日的封闭公式以

代替

计算系数。

O (n^{2})

$O(n^2)$

O (n^{3})

$O(n^3)$

— md5

2

确切同样的问题，不同的措辞：math.stackexchange.com/questions/446130/...

— Nayuki

Answers:

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您可以使用两个查询来确定多项式。首先查询的多项式，以获取系数值的上限现在，在您选择的处查询多项式，并从基数展开中读取系数。 $x=1$ $M$ $x > M$ $x$

奇怪的是，如果您允许系数为负，那么您做的并不比查询好。确实，我总是可以用零回答您的查询，这并不能确定多项式的值，因为与我的答案一致。 $d$ $d-1$ $x_1,\ldots,x_{d-1}$ $(x-x_1)\cdots(x-x_{d-1})(x-x_d)$

— Yuval Filmus
source

对于负数，我认为2的补码技巧可能有效。

— 复杂性

4

在系数的大小上没有上限。这就是我的证明所显示的。

— Yuval Filmus

d - 1

$d-1$

x_{1}, \dots, x_{d - 1}

$x_1,\ldots,x_{d-1}$

6

f

$f$

d - 1

$d-1$

f

$f$

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