Y组合器如何举例说明“ Lambda演算不一致”？

在定点组合器的Wikipedia页面上，写着相当神秘的文字

Y组合器是导致Lambda微积分不一致的一个示例。因此，应该怀疑。但是，仅在数学逻辑中定义时考虑Y组合器是安全的。

我读过某种间谍小说吗？“ -calculus”是“不一致的”并且应该“被怀疑”的说法在世界上意味着什么？$\lambda$

它的灵感来自真实的事件，但是它的表述方式几乎是不可识别的，“应该被怀疑”是胡说八道。

一致性在逻辑上有一个精确的含义：一致性理论是不能证明所有陈述的理论。在经典逻辑中，这等效于没有矛盾，即，当且仅当存在陈述使得该理论证明及其否定，理论才是不一致。$A$$A$$\neg A$

那么，对于lambda微积分意味着什么呢？没有。λ演算是一种重写系统，而不是逻辑理论。

可以查看与逻辑有关的λ演算。将变量视为表示证明中的假设，将lambda抽象视为某个假设（由变量表示）下的证明，并将其用作条件证明和假设的证明。然后，β规则对应于通过应用“ 模式”（一种逻辑的基本原理）简化证明。

但是，这仅在条件证明与正确假设的证明相结合时才有效。如果您有一个假设的条件证明，并且您也有的证明，则不能将它们组合在一起。如果要对lambda演算进行这种解释，则需要添加一个约束，该约束仅将正确假设的证明应用于条件证明。这称为类型系统，约束条件是键入规则，该规则表示将参数传递给函数时，参数的类型必须与函数的参数类型匹配。$n=3$$n=2$

该柯里-霍华德同构之间是平行类型结石和证明系统。

• 类型对应于逻辑语句；
• 术语对应于证明；
• 居住类型（即存在该类型术语的类型）对应于真实的陈述（即存在该陈述的证据的陈述）；
• 程序评估（即Beta之类的规则）对应于证明的转换（最好将正确的证明转换为正确的证明）。

具有定点组合符（例如的类型化演算允许构建任何类型的项（尝试评估），因此，如果通过Curry-Howard对应关系进行逻辑解释，则会得出不一致的理论。请参阅Y组合器是否与Curry-Howard对应矛盾？更多细节。$Y$$Y (\lambda x.x)$

这对于纯lambda演算（即没有类型的lambda演算）没有意义。

在许多类型的计算中，无法定义定点组合器。这些类型的演算就其逻辑解释而言很有用，但不能作为图灵完备的编程语言的基础。在某些类型的计算中，可以定义一个定点组合器。这些类型的演算可以用作图灵完备的编程语言的基础，但对于它们的逻辑解释而言却不是。

结论：

• λ演算不是“不一致的”，该概念不适用。
• 一个类型化演算指派一个类型，每学期的λ不一致。有些类型的lambda结石就是这样，其他一些使某些术语无法键入并且是一致的。
• 类型化的Lambda演算不是Lambda演算的唯一理由，甚至不一致的类型的Lambda演算也是非常有用的工具—只是为了证明事实。

我想在@Giles说的内容中添加一个。

的咖喱霍华德对应使得之间的并联组术语（更具体地，所述类型的组术语）和证明系统。$\lambda$$\lambda$

例如，输入（其中表示“从到函数”），它对应于逻辑语句。函数具有，对应于。通过某种意义上的函数“模式匹配”，我们可以将任何lambda-演算类型转换为逻辑重言式。$\lambda x.\lambda y.x$$a \to (b \to a)$$a \to b$$a$$b$$a \implies (b \implies a)$$\lambda x.\lambda y.xy$$(a \to b) \to (a \to b)$$(a \implies b) \implies (a \implies b)$

当我们考虑定义为的Y组合器时，就会出现问题。之所以出现这个问题，是因为我们希望Y组合器作为“定点”组合器具有类型（因为它需要将函数从类型转换为相同类型，并找到一个固定的-指向该函数（具有该类型）。将其转换为逻辑语句将产生。这是一个矛盾：$\lambda f.(\lambda x.f(xx))(\lambda x.f(xx))$$(a \to a) \to a$$(a \implies a) \implies a$

在类型系统中接受导致类型系统不一致。这意味着我们可以$(a \to a) \to a$

• 禁止在类型系统中输入的类型（这使您可以简单地键入 -calculus），或者$(a \to a) \to a$$\lambda$
• 作为逻辑推论系统，类型系统是不一致的。