在lambda演算中求解未知函数的函数方程

是否有任何技术可以解决lambda微积分中未知函数的函数方程？

假设我具有如下扩展定义的标识函数：

$I x = x$

（即，为该函数的预期行为写下一个方程式），现在我想通过做一些代数变换来获得该函数的内涵式来为解决它：$I$

$I = \lambda x.x$

告诉我们该函数如何精确地完成预期的工作（即，如何在lambda演算中实现它）。

当然，仅以身份功能为例。我对解决此类方程式的更通用方法感兴趣。特别是，我想找到一个满足以下要求的函数$B$：

$B\;f\;(\lambda x.M) = (\lambda x.f M)$

也就是说，将给定函数插入给定的lambda函数，使其位于其“ body”（它是任意的lambda表达式）之前，可能是通过拆开并构造一个新的函数，使其变为函数应用于的参数。$f$$(\lambda x.M)$$M$$f$

这是一个已知的问题，称为高阶统一。

不幸的是，这个问题通常是无法确定的。有一个可确定的片段，称为米勒模式片段。除其他外，它广泛用于具有元变量或模式匹配的依赖类型程序的类型检查。该片段是统一变量仅应用于不同的绑定程序变量的地方。

本文提供了一个很好的教程，介绍了高阶统一的工作原理，并逐步介绍了（相对）简单的实现。

不幸的是，您的函数看起来不属于此模式片段。也就是说，我所看到的与功能组合非常相似。以下功能是否满足您的要求？

$B = \lambda f\ g\ x\ \ldotp f\ (g\ x)$

我们有：

• $B\ f\ (\lambda x . M)$
• 由 α -equivalence$= B\ f\ (\lambda y . [y/x]M)$$\alpha$
• $= \lambda x . f\ ((\lambda y. [y/x]M) x)$
• $= \lambda x . f\ ([x/y][y/x]M)$
• $= \lambda x . f\ M$

我想对带有恒等函数的方程式有一个部分答案：

$I x = x$

我们希望通过找到对式来解决它，这将是这样的形式（λ p 。中号）与一些未知的表达中号作为其主体。让我们用它替换我在原来的公式：$I$$(\lambda p.M)$$M$$I$

$(\lambda p.M)\; x = x$

然后将该函数应用于左侧的：$x$

$M[p/x] = x$

但是我们这里有什么？：>这个方程式是我们要寻找的表达式的公式，用x代替p中每次出现的p，它表示之后的样子应该像右手边:)换句话说，我们寻找的是：$M$$p$$x$

$I = (\lambda x.x)$

当然哪个是正确的答案:)

让我们尝试相同的方法来找到组合器的公式。我们希望它以某种方式工作，当应用于自身时，将产生应用于自身的自身：$\omega$

$\omega\;\omega = \omega\;\omega$

现在，让我们发现对于式其为形式的（λ X 。中号）对于一些未知表达中号。将其代入方程式，我们得到：$\omega$$(\lambda x.M)$$M$

$(\lambda x.M)\;\omega = \omega\;\omega$

将其应用于左侧的参数可得出的公式：$M$

$M [x/\omega] = \omega\;\omega$

这是说的每一个发生后取代在中号与ω它产生$x$$M$$\omega$，因此我们可以推断出替换之前的原始表达式 M应该为$\omega\;\omega$$M$，因此我们要查找的函数应如下所示：$x\;x$

$\omega = (\lambda x.x\;x)$

的确是这样:)

但是我有一种感觉，它可能变得如此简单，因为右侧已经在我们要查找的形式中。