证明二元堆具有

我想证明一个二元堆与 $n$ 节点正好有假设以下列方式构建堆，那么将片叶子： $\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil$

通过percolate up插入每个新节点。这意味着必须在下一个可用子节点上创建每个新节点。我的意思是，孩子们从下到上，从左到右地被填充。例如，以下堆：

    0
   / \
  1   2

将有已建成的顺序为：0，1，2，（这些数字仅仅是索引，他们没有给出该节点所包含的实际数据的指示。）

这有两个重要含义：

（根据我的定义，这将是非法的堆。）因此，考虑该堆的一个好方法是堆的数组实现，其中数组的索引中不能有任何“跳转”。

因此，我认为归纳法可能是实现此目的的一种好方法……也许某些事情甚至需要处理n的奇数情况。例如，使用这样的事实进行归纳，即以这种方式构建的偶数堆必须具有一个带有偶数n的子节点的内部节点，而没有奇数n的此类节点。有想法吗？

data-structures binary-trees

— 瓦拉蒂斯
source

@DaveClarke：不完全；链接的问题是对我们留给编辑的部分误解的结果。

— 拉斐尔

您是否尝试过归纳节点号。插入次数？

— 拉斐尔

@DaveClarke：为什么？恕我直言，这本身就是一个有效的问题。

— 拉斐尔

顺便说一句，这个问题与堆无关。该索赔适用于任何完整的二叉树

— Ran

Answers:

如果我正确地理解了您的问题，那么获得的堆只是一个有序的二叉树，其中有序的意思是第个级别只能在级别完全填充后才能被占用，并且每个级别从左开始都被占用向右，无需跳过。 $k$ $k-1$

然后证明就这样。

深度的完美树正好有节点。 $k$ $2^{k+1}-1$
假设堆达到深度。从而
1. 直到级，树是完美的（并且那里有节点） $k-1$ $2^k-1$
2. $n-2^k+1$
$k$
$2^{k-1}$ $k-1$ $\left\lceil \frac{n-2^{k}+1}{2} \right\rceil$ $2^{k-1} - \left\lceil\frac{n-2^{k}+1}{2}\right\rceil$
$n - 2^{k} + 1 + 2^{k - 1} - ⌈ \frac{n - 2^{k} + 1}{2} ⌉$ $n-2^k+1 + 2^{k-1} - \left\lceil\frac{n-2^{k}+1}{2}\right\rceil$

— 冉G.
source

请注意，完全不同于完全不同于完全二叉树。不幸的，模棱两可的和不一致的单词选择在那里，但是你能做些什么。我想坚持Wikipedia的定义是有道理的，因为大多数人会首先看到那里？

— 拉斐尔

哦，哇，我什至都不知道这些术语。感谢您指出了这一点。

— Ran G.

“直到k-1级为止，树都是完美的（并且那里有2 ^ k-1个节点）”，“因此，在k-1级的2 ^（k-1）个节点中，这似乎是矛盾的，还是我错过了什么？

— 阿德里安h。

2^{k} - 1

$2^k-1$

2^{k - 1}

$2^{k-1}$

2^{k - 1} + 2^{k - 2} + . . .

$2^{k-1}+2^{k-2}+...$

啊，您完全正确，非常感谢您的澄清！

— 阿德里安h。

这是一个更简单的逻辑证明。

$n^{th}$ $\lfloor{n/2}\rfloor$ $\lfloor n/2 +1\rfloor)^{th}$ $\lfloor{n/2}\rfloor$

$\lfloor(n/2)\rfloor$ $\lceil(n/2)\rceil$

— Zubin Pahuja
source

相当直观清晰的说明。谢谢。

— whitehat