如何证明两个2x2矩阵的矩阵乘法不能少于7个乘法？

在Strassen的矩阵乘法中，我们陈述了一个奇怪的事实（至少对我来说是这样），即两个2 x 2的矩阵乘法需要7个乘法。

问题：如何证明不可能将两个2 x 2矩阵乘以6乘法？

请注意，矩阵超过整数。

algorithms complexity-theory lower-bounds

— 复杂
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还有其他更快的矩阵乘法算法。这篇来自Stanford CME 323类的网络文章提供了有关Strassen算法的详细信息，矩阵乘法：Strassen算法。有一个Wikipedia主题，即Strassen算法，其中有详细介绍，并具有指向其他信息的链接。

— 理查德·钱伯斯

@RichardChambers注意Strassen的算法有乘法。在我看来，这个下限是正确的。

7

$7$

— Stella Biderman

用措辞来说，这个问题是错误的。有很多矩阵可以乘以乘法。您的意思是要求提供一个证明，即在最坏的情况下，它需要7才能存在一个需要7的矩阵

6

$6$

— Stella Biderman

@StellaBiderman是的，我看到Strassen的有7个乘法。我没有看另一种更快，复杂度更低的算法。据我所知，他们使用与Strassen相同的子矩阵方法，但我不确定。我只是添加一些有关Strassen的专门信息。

— 理查德·钱伯斯

您的问题似乎缺少某些内容。我可以轻松地给出一个算法，该算法可以将至少某些矩阵与0乘法相乘。您可能没有提到一个约束。

— 约尔格W¯¯米塔格

Answers:

这是Winograd的经典结果：关于2x2矩阵的乘法。

Strassen表明，矩阵乘法的指数与矩阵乘法张量的张量秩的指数相同：矩阵乘法的代数复杂度为前提是的张量秩为（与两个矩阵相乘的矩阵相乘张量）为。Strassen的算法使用简单方向从上限推导。 $n\times n$ $O(n^\alpha)$ $\langle n,n,n \rangle$ $n\times n$ $O(n^\alpha)$ $O(n^{\log_27})$ $R(\langle 2,2,2 \rangle) \leq 7$

Winograd的结果表明。Landsberg显示的边界等级也是7，Bläser等人。最近扩展了支持等级和边境支持等级。边界等级和支持等级是在快速矩阵乘法算法中已使用（在边界等级的情况下）或提出（在支持等级的情况下）的等级概念较弱（=较小）。 $R(\langle 2,2,2 \rangle)=7$ $\langle 2,2,2 \rangle$

— Yuval Filmus
source

您可以在以下位置找到结果：

S.Winograd，关于2×2矩阵相乘，线性代数和Appl。4（1971），381-388，MR0297115（45：6173）。

— 斯特拉·比德曼（Stella Biderman）
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