是否有一种有时有效的算法来解决#SAT问题？

令为一个布尔公式，由通常的AND，OR和NOT运算符以及一些变量组成。我想计算的令人满意的作业数量。也就是说，我想找到真值的不同分配到的变量数目为其假定真值。例如，公式具有三个令人满意的赋值；有四个。这是#SAT问题。$B$$B$$B$$B$$a\lor b$$(a\lor b)\land(c\lor\lnot b)$

显然，对此问题的有效解决方案将是对SAT的有效解决方案，这不太可能，而且实际上此问题是#P完全的，因此可能比SAT严格得多。因此，我不期望有一个保证有效的解决方案。

但是众所周知，SAT本身真正困难的实例相对很少。（例如，Cheeseman 1991，“ 真正困难的问题在哪里”。）普通的修剪搜索，尽管在最坏的情况下是指数式的，但可以有效地解决许多实例。解决方法虽然在最坏的情况下是指数级的，但在实践中甚至更为有效。

我的问题是：

是否有已知算法可以快速计算一个典型布尔公式的满意赋值数量，即使这种算法在一般情况下需要指数时间也是如此？有什么比列举每个可能的任务明显更好的了吗？

一般情况下的计数

您感兴趣的问题称为#SAT或模型计数。从某种意义上讲，它是经典的＃P-完全问题。即使是 -SAT ，模型计数也很难！毫不奇怪，确切的方法只能处理带有大约数百个变量的实例。近似方法也存在，它们可能能够处理大约1000个变量的实例。$2$

精确计数方法通常基于DPLL样式的详尽搜索或某种知识汇编。近似方法通常归类为无需任何保证即可进行快速估计的方法，以及提供正确性保证的上下限的方法。还有其他可能不适合类别的方法，例如发现后门或坚持某些结构属性以保留公式（或其约束图）的方法。

那里有实际的实现。一些确切的模型计数器是CDP，Relsat，Cachet，sharpSAT和c2d。精确求解器使用的主要技术包括部分计数，（底层约束图的）组件分析，公式和组件缓存以及每个节点的智能推理。基于知识编译的另一种方法将输入的CNF公式转换为另一种逻辑形式。通过这种形式，可以轻松推导出模型计数（新生成公式的大小为多项式时间）。例如，可以将公式转换为二进制决策图（BDD）。然后可以将BDD从“ 1”叶遍历回根。又例如，c2d使用一个编译器，该编译器将CNF公式转换为确定性可分解否定范式（d-DNNF）。

$\phi$$\phi$

Gogate和Dechter [3]使用称为SampleMinisat的模型计数技术。它基于布尔公式的无回溯搜索空间中的采样。该技术基于重要性重采样的思想，使用基于DPLL的SAT求解器来构建无回溯搜索空间。这可以完全完成，也可以近似完成。有保证的估计抽样也是可能的。建立在[2]上，Gomes等。[4]表明，采用改进的随机策略抽样，可以在概率较高的情况下保证模型总数的可证明下界。

还有一些基于信念传播（BP）的工作。参见Kroc等。[5]和他们介绍的BPCount。在同一篇论文中，作者提供了第二种方法，称为MiniCount，用于提供模型计数的上限。还有一个统计框架，允许人们在某些统计假设下计算上限。

＃2-SAT和＃3-SAT的算法

$O(1.3247^n)$$O(1.6894^n)$$O(1.6423^n)$

就问题的本质而言，如果您想在实践中解决实例，则很大程度上取决于实例的大小和结构。您了解的越多，选择正确方法的能力就越大。

[1] VilhelmDahllöf，Peter Jonsson和MagnusWahlström。计算2-SAT和3-SAT中的满意作业。在第八届年度国际计算与组合技术会议（COCOON-2002）的会议记录中，2002年，535-543。

[2] W. Wei和B. Selman。一种新的模型计数方法。SAT05会议录：第八届国际满意度测试理论和应用会议，计算机科学讲义第3569卷，2005年第324-339页。

[3] R. Gogate和R. Dechter。通过采样无回溯搜索空间进行近似计数。在AAAI-07会议记录中：第22届全国人工智能大会，198-203，温哥华，2007年。

[4] CP Gomes，J。Hoffmann，A。Sabharwal和B. Selman。从抽样到模型计数。在IJCAI-07会议录中：第20届国际人工智能联合会议，2007年2293年至2299年。

[5] L. Kroc，A。Sabharwal和B. Selman。利用信念传播，回溯搜索和统计信息进行模型计数。在CPAIOR-08：第五届约束编程中AI和OR技术集成的国际会议上，计算机科学讲义第5015卷，127-141，2008年。

[6] K. Kutzkov。＃3-SAT问题的新上限。信息处理快报105（1），1-5，2007。

除了Juho列出的论文之外，还有一些其他文章描述了有关此主题的工作，尤其是在估计解决方案数量方面：

• 模型计数。Carla P. Gomes，Ashish Sabharwal，Bart Selman满意度手册，IOS出版社。编辑：Armin Biere，Marijn Heule，Hans van Maaren和Toby Walsh。第20章，第633-654页，2009年。

  • 这对主题进行了很好的概述，并介绍了许多技术。

• 基于XOR约束的组合空间的近似均匀采样。Carla P. Gomes，Ashish Sabharwal，Bart Selman。NIPS-06。第20届神经信息处理系统年度会议，第481-488页，加拿大不列颠哥伦比亚省温哥华，2006年12月。

• 短XOR用于模型计数：从理论到实践。Carla P. Gomes，Joerg Hoffmann，Ashish Sabharwal和Bart Selman SAT-07。第十届满意度测试理论和应用国际会议，LNCS第4501卷，第100-106页，葡萄牙里斯本，2007年5月。

• 利用信念传播，回溯搜索和统计信息进行模型计数。Lukas Kroc，Ashish Sabharwal，Bart Selman ANOR-2011。运筹学年鉴，第184卷，第1期，第209-231页，2011年。

• 快速精确模型计数的启发式算法。田桑，保罗·比默和亨利·考茨。满意度测试的理论和应用（SAT 2005），第226-240页。