道歉可能是要问有关前提条件的另一个问题，但是我对起点感到困惑。我遇到过各种术语，例如“模态逻辑”，“时间逻辑”，“一阶逻辑”，“二阶逻辑”和“高阶逻辑”。

在这种情况下，“逻辑”到底是什么意思？我们如何严格定义“逻辑”一词？

在浏览了几本书的开始部分之后，我可以粗略得出结论：“逻辑是一种从中决定内容的方法，这对设计编程语言非常重要，因为它指示并促进了程序的设计以自动推理和理解程序。我想要稍微详细地了解第二点。

现在来看这些逻辑。

所有这些逻辑（“时间逻辑”，“模态逻辑”，“一阶逻辑”，“高阶逻辑”）是否彼此独立，或者我们需要了解这些逻辑中的几个即可理解该组中的其他逻辑？简而言之，它们的先决条件是什么？（如果我也可以从一些材料中获得建议，那将是很棒的。）

PS：非常感谢您的好意

从根本上说，逻辑由两部分组成。

• 语法是确定什么是公式的规则的集合。
• 语义是一组规则，用于确定哪些公式为“ true”和什么为“ false”。对于模型理论家来说，这是通过将公式与它们所基于的数学结构相关联来表达的。对于证明理论家来说，真理对应于选择的一组公理和一组选择的证明规则（技术）的可证明性。

最简单地，不同逻辑之间的区别在于语法和语义的选择。大多数逻辑是命题逻辑或一阶逻辑的扩展。从某种意义上讲，您可以将这些扩展视为对逻辑的“添加更多功能”。例如，时间逻辑处理可能随时间变化的真理。

通常，这些功能可以用更简单的逻辑表示，但必须写更长的公式。例如，时间概念“  是真的从这一点永恒”，可以在一阶的方式通过添加一个时间参数所有的命题，并说：“对于所有的时间表达  牛逼，如果牛逼  大于或等于当前时间，则 在时间t处φ为真  。” 从某种意义上讲，您可以将这些逻辑视为将库添加到基本编程语言中，从而可以更轻松地说出内容。$\varphi$$t$$t$$\varphi$$t$

由于几乎所有逻辑都基于命题和一阶逻辑，所以我建议先学习这些逻辑。

尽管计算机科学，数学和物理学等领域的组织相对较好，但逻辑学却有着混乱的历史。它的组织确实令人困惑，因此我认为阅读一些历史记录以了解该领域的密集结构非常重要。

您应该选择的路径取决于您的背景和目标。

逻辑是什么？

1. 传统观点认为，逻辑是一种形式系统，具有形式语言（语法），语义（外部含义，想到程序的解释器）和一组规则，这些规则可从其他规则推论出（思考规则）。减少程序）。逻辑纯粹被视为纯粹的数学对象。

2. 现代观点认为，通过著名的Curry-Howard同构，逻辑是一种连贯的类型系统（证明是程序，类型是公式）。更准确地说：推理规则享有割除定理和Church-Rosser定理/合流定理，表明底层的编程系统将表现良好。

3. $p, q$

   • $P, Q$$P(x_1, ..., x_n)$$Q(x_1, ..., x_n)$
   • 在二阶逻辑中，谓词变量变成一类具有一阶函数的函数。它们的行为类似于以一阶函数为参数的函数。例如，我们可以拥有谓词和对谓词的量化。
   • 三阶等的推理相同。高阶逻辑接受任何阶。考虑一下具有功能的Haskell和OCaml，这些功能将功能等的功能作为参数。

4. 通常，对于逻辑到底是什么没有达成共识。一些哲学家使用的系统没有一致的底层编程系统。实际上，我会说使用逻辑的每个领域都有其自己的逻辑概念。而且大多数数学家可能都不在乎逻辑是什么。

领域的结构

逻辑的历史太大了，所以我只给出领域的结构。形式逻辑领域分为：哲学，数学和计算用途。形式逻辑始于19-20世纪。

• 您应该首先学习命题逻辑和一阶逻辑。他们是最标准的。创建它们是为了对古希腊时代的旧逻辑进行形式/数学解释。

  • 模型理论（语义学），从逻辑的角度研究数学结构
  • 证明理论（语法）独立地将证明作为数学对象进行研究。

• 二阶逻辑是一阶逻辑的扩展，一阶逻辑是命题逻辑的扩展。这是特别有趣的，因为算术以第二阶“活跃”（谓词在带归纳的谓词上）。同样，拓扑位于“三阶”（集合中的谓词本身可以看作谓词）。

• 然后是LEJ Brouwer，他将逻辑分为两部分：

  • $A$$A \lor \lnot A$
  • 直觉逻辑是一种拒绝被排除的中间定律和所有等效定律的逻辑（出于技术和哲学上的原因，我在这里不做解释）。

• 在其他情况下，哲学家开始对形式逻辑感兴趣，并认为它可以回答哲学问题（分析哲学）。他们建立了自己独立的逻辑系统（超常逻辑，关联逻辑和模态逻辑，例如道义逻辑，时间逻辑，认知逻辑等）。模态逻辑不适用于真理，而适用于可能性，必要性，时间，知识等形式。它们都独立于以上逻辑。

• $\lambda$

• 计算机科学家想以一种正式的方式来验证和证明系统的稳定性，而且模态逻辑似乎是相关的。今天，他们使用时间逻辑和模态逻辑对系统进行推理（请参阅：形式方法，模型检查）。系统通过自动机理论建模（例如），并使用逻辑工具进行验证。它导致了线性时序逻辑（LTL）和计算树逻辑（CTL）。

• 出于同样的动机，计算机科学家希望验证程序的健全性并证明其性能。因此，我们发明了用于命令式程序的Hoare逻辑，更笼统地说，是分离逻辑。

• 通过研究，Curry-Howard同构，出现了一个新的逻辑：线性逻辑，它限制了结构规则（弱化和收缩），被视为在证明和程序中进行的擦除和复制。事实的潜在无限是明确的。似乎该逻辑是对经典逻辑和直觉逻辑的概括，并基于计算和过程范式给出了全新的逻辑概念。它主要由计算机科学家研究。

• 线性逻辑还来自我们称之为拒绝逻辑的结构规则的子结构逻辑。相关逻辑和仿射逻辑就是此类系统的示例。

摘要和路径选择

• 任何逻辑都可以是：命题逻辑，一阶，二阶，三阶，...，更高阶（每个都扩展前一个逻辑）。

• 我们可以添加或删除规则以使现有系统变型：

  • 删除排除中间的：直觉逻辑
  • 添加模态：模态逻辑
  • 限制矛盾和弱化：线性逻辑
  • 消除收缩：仿射逻辑
  • 消除弱点：相关逻辑
  • 以不同的方式处理否定：超常逻辑

• 首先学习命题和一阶逻辑，以及：

  • 模型理论，二阶，高阶（如果您对数学感兴趣）
  • 证明理论，直觉逻辑，二阶逻辑，线性逻辑（如果您对计算机科学的基础感兴趣）
  • 模态逻辑，Hoare逻辑，分离逻辑（如果您对系统和程序的验证感兴趣）
  • 模态逻辑，如果您对哲学感兴趣的话，通常是非经典逻辑

参考书（书籍）

我个人建议尽可能混合参考。

• 数学逻辑（Chiswell＆Hodges）：非常简洁和简单的书。
• 逻辑学（Hedman）的第一门课程：与上述课程有点类似，但是提供了更多细节并考虑了可计算性。
• 实用逻辑和自动推理手册（哈里森）：如果您想了解实践中如何实现一些与逻辑相关的概念。更面向自动推理。
• 计算机科学中的逻辑（Huth和Ryan）：非常清楚并且面向计算机科学家（程序和系统的验证，Hoare逻辑，模态逻辑的实际使用，时间逻辑，模型检查）。
• 证明理论导论（公共汽车）：证明理论导论。最好遵循一些通用逻辑来阅读此内容。

参考文献（维基百科）

• https://zh.wikipedia.org/wiki/哲学_逻辑
• https://zh.wikipedia.org/wiki/咖喱％E2％80％93Howard_correspondence
• https://zh.wikipedia.org/wiki/非经典逻辑
• https://zh.wikipedia.org/wiki/Intuitionistic_logic
• https://zh.wikipedia.org/wiki/模块逻辑
• https://zh.wikipedia.org/wiki/模型理论
• https://zh.wikipedia.org/wiki/Proof_theory
• https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_temporal_logic
• https://zh.wikipedia.org/wiki/Computation_tree_logic
• https://zh.wikipedia.org/wiki/分离逻辑
• https://en.wikipedia.org/wiki/Hoare_logic
• https://zh.wikipedia.org/wiki/线性逻辑
• https://zh.wikipedia.org/wiki/Substructural_logic

所有这些逻辑都属于“ 数学逻辑”的范畴。

数学逻辑通常分为集合论，模型论，递归论和证明论等领域。这些领域在逻辑（尤其是一阶逻辑）和可定义性方面共享基本结果。在计算机科学中（尤其是在ACM分类中），数学逻辑包含本文中未详细介绍的其他主题。参见计算机科学中的逻辑。

此外，如果您想了解一般的逻辑，本文可能会有用。

逻辑原本意为“单词”或“说什么”，但后来意为“思想”或“原因”，是与最普遍的真理定律有关的主题，如今通常被认为由系统研究组成有效推断的形式。有效的推论是在推论的假设与其结论之间存在逻辑支持的特定关系的推论。