子集和变量的复杂度

子集和问题的这种变体是否容易/已知？

给定一个整数，以及一组正整数这样每个最多将位设置为（）; 是否有子集使得其元素之和等于？ $m$ $A = \{x_1, x_2, ..., x_n\}$ $x_i$ $k=2$ $1$ $x_i = 2^{b_{i_1}}+2^{b_{i_2}},\;\; b_{i_1},b_{i_2}\geq 0$ $A' \subseteq A$ $m$

是吗？还是完成？ $\sf{P}$ $\sf{NP}$

并且如果每个最多将位设置为？对于这个问题微不足道。 $x_i$ $k=3$ $1$ $k=1$

complexity-theory reference-request decision-problem

— Vor
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即使对于，它仍然是完全的。给定一个子集总和的实例，我们可以通过拆分数字并添加一些额外的位，将其转换为此变体。 $\sf{NP}$ $k=2$

首先，对于的某个值，问题中所有数字的总和将小于。 $2^m$ $m$

现在，让我们从原始问题中取一个设置为位的数字。我们将在拆分此数目数字与正好2个比特设置为使得这些数字的总和为。我们可以通过找到数来累加地执行此操作，数字加起来等于第一个位加上和数字总计最后位加上。 $n$ $k$ $k$ $n+2^{k+m}$ $\lceil{k}\rceil$ $\lceil{k}\rceil$ $2^{k+m-1}$ $\lfloor{k}\rfloor$ $\lfloor{k}\rfloor$ $2^{k+m-1}$

除了该数字外，我们还将数字到问题中。解决方案必须包含该数字或以前构造的所有数字。如果原始目标值为则新目标值为。 $2^{k+m}$ $k$ $t$ $t+2^{k+m}$

如果原始问题有多个，我们可以对新值采用重复此过程。 $k+m+1$ $m$

只能通过两种方式设置位置的位：答案可以包含数字或所有数字的总和为。因此，我们已将子集总和减少为您的子集总和变体。 $k+m$ $2^{k+m}$ $k$ $n+2^{k+m}$

例如，以目标值。通过采用以下二进制数，可以将此问题编码为此处表示的子集和变量： ${\{2,3,5\}}$ $7$

2被映射到和。（在这里严格地不需要使用额外的位。） $0100\ 1$ $0000\ 1$

3映射到和 $1000\ 00\ 1, 0100\ 00\ 1$ $0000\ 00\ 01$

5映射到和。 $1000\ 00\ 000\ 1, 0010\ 00\ 000\ 1$ $0000\ 00\ 000\ 01$

新的目标值将变为。 $1110\ 10\ 010\ 01$

如果原始问题用位表示，则转换后的问题最多具有位。原始问题最多具有数字，每个数字最多具有比特，因此它们的总和也为O（n）。变换后的问题将具有数字（因为每个位数字被拆分为位数字，它们的长度最多为因为我们将额外的位用于因此，转换后的问题的总大小为位。 $n$ $O(n^4)$ $O(n)$ $O(n)$ $O(n^2)$ $n$ $n+1$ $2$ $O(n^2)$ $n$ $O(n^4)$

— 汤姆·范德赞丹
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您确定编码不会导致工作磁带呈指数大小吗？

— 2013年

不，我认为转变后的问题在规模上是四次的。如果输入有n位，则最多有n个数字，每个数字都设置了n位。因此，在变换后的问题中将存在O（n ^ 2）个数字（因为k位数字被拆分为k + 1个数字）。每个数字的长度为（2n）位，以容纳原始问题中n个数字中每个数字的最大和加n位。因此，每个数字将具有O（2n + n ^ 2）位，总共O（n ^ 4）位。

— 汤姆·范德赞丹

@TomvaderZanden：我添加了一张您在问题中减少的图片；看看我是否正确

— 理解了

@TomvaderZanden：今天，我再次看一下您的减法，但是尚不清楚如何从设置了位的任意数中将其拆分为 2位数字，其中“最高”部分的总和为。假设您有一个设置了位的数字；您需要13个2位数字，但是13是1101，并且不能用两位数字“覆盖”它（您的示例有效，因为3和5 k = 2）。我认为，如果对 2位数字中的每一个使用不同的高位，则可以轻松解决此问题；它们的总和为01111 ... 1，然后添加一个虚拟的0000 ... 1，该总和为。

n

$n$

k

$k$

k

$k$

2^{k}

$2^k$

n

$n$

k = 13

$k=13$

k

$k$

2^{k}

$2^k$

— 2013年

这有点含糊，但是使用“归纳”过程当然是可能的。您实际上不需要位，只需要。如果要查找13个1位数相加为，则需要查找6个相加之整数为和7个也相加为。我们可以取，这实际上总计为。

k

$k$

c e i l (\log k)

$ceil(\log k)$

2^{4}

$2^4$

2^{3}

$2^3$

2^{3}

$2^3$

10 * 2^{0} + 3 * 2^{1}

$10*2^0+3*2^1$

2^{4}

$2^4$

— 汤姆·范德赞丹

这是Vor从问题中提取的信息。

对于，问题仍然是NP完全的。我发现从单调X-SAT快速还原（请参见此处的还原方案）。 $k \geq 3$

即使，问题仍然是NP完全的，有关详细信息，请参见Tom的答案。以下是他从SUBSET SUM减少的一小部分表示： $k = 2$

在此处输入图片说明

— 朱ho
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