密集的NP完整语言表示P = NP

我们说，如果存在多项式使得，则语言是密集的所有换句话说，对于任何给定的长度，仅存在多项式中长度为多个单词，它们不在中 p | Ĵ ç ∩ ＆Sigma; ñ | ≤ p （Ñ ）ñ ∈ Ñ。n $J \subseteq \Sigma^{*}$$p$

我目前正在研究的问题要求显示以下内容

如果存在密集的$NP$语言，则$P = NP$

本文所建议的是考虑将多项式简化为 -，然后构造一种算法，该算法试图满足给定的公式，同时生成元素S A T C N F J c$3$$SAT$$CNF$$J^c.$

我想知道的是

还有更直接的证据吗？在更一般的情况下知道这个概念吗？

这是关于马哈尼定理的一个很好的作业问题。

请注意，“密集”语言的补语是稀疏语言。此外，如果一个语言是 -complete其互补Ç ö Ñ P -complete。$\mathsf{NP}$$\mathsf{coNP}$

如果有一个“密” -complete语言，有一个稀疏ç ö Ñ P -complete语言。$\mathsf{NP}$ $\mathsf{coNP}$

马哈尼定理告诉我们，除非P = N P，否则不存在稀疏的语言。$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$

我们可以采用证明来证明不存在稀疏的语言，除非P = c o N P等于P = N P（因为P在补码下是封闭的）。$\mathsf{coNP}$$\mathsf{P}=\mathsf{coNP}$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

总之，除非否则答案是否定的。注意，如果P = N P，那么每种非平凡语言都是N P -complete。$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

PS：你可能想尝试以下，然后用马哈尼定理：有一疏 -complete集当且仅当有一个稀疏的ç Ø ñ P -complete集。但是，我怀疑这种说法的证明比马哈尼定理的证明要容易得多。$\mathsf{NP}$$\mathsf{coNP}$

如上所述，根据马哈尼定理。 除非P = N P，否则 稀疏和密集的语言不能为。$NP-Hard$$P=NP$

上述草案包含完整的证明。