优化版本的决策问题

已知每个优化/搜索问题都有一个等效的决策问题。例如最短路径问题

优化/搜索版本： 给定一个未加权无向图 $G = (V, E)$ 和两个顶点 $v,u\in V$ ，找到之间的最短路径 $v$ 和。 $u$

决策版本： 给定无向非加权图，两个顶点和一个非负整数，在和之间的是否存在一条路径，该路径的长度最大为？ $G = (V, E)$ $v,u\in V$ $k$ $G$ $u$ $v$ $k$

$x^*\in X$ $f(x^*) = \min\{f(x)\mid x\in X\}$ $x\in X$ $f(x) \leq k$

但是反过来也是如此，也就是说，每个决策问题都有一个等效的优化问题吗？如果不是，那么没有等效优化问题的决策问题的例子是什么？

— 卢克·迈尔斯
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该位等于零吗？

— JeffE 2012年

您必须更详细地解释“等效”，例如，您是说一个可以在多项式时间（或对数空间）中将另一个用作oracle / blackbox来求解吗？您是否只关心内部的所有问题？

N P

$\sf{NP}$

— 卡夫

根据您的观点，该问题是微不足道的（采用不带“ ”的任何决策问题）或不回答（如何证明“没有等效的选择问题”？）。

k

$k$

— 拉斐尔

正如评论中已经提到的那样，它通常取决于定义。我试图回答这个问题需要很多定义，因此这将是我无法给出简明答案的另一个例子。

定义：一个优化问题是一个元组与 $(X,F,Z,\odot)$

一组适当编码的（字符串）实例或输入。 $X$
是每个实例映射函数到一组的可行解的。 $F$ $x\in X$ $F(x)$ $x$
是目标函数每对映射，其中和，为实数称为值的。 $Z$ $(x, y)$ $x \in X$ $y\in F(x)$ $Z(x, y)$ $y$
是优化方向，或。 $\odot$ $\min$ $\max$

定义：一种最佳解决方案的实例的的一个优化问题是一个可行的解决方案为其。最佳解的值用 $x\in X$ $P_O$ $y\in F(x)$ $Z(x, y)=\odot\{Z(x, y')\mid y'\in F(x)\}$ $Opt(x)$ 并称为最佳。

定义：该评价问题，记为，对应于优化问题如下：给定一个实例，计算如果具有的最佳解决方案和输出“没有最优解”否则。 $P_E$ $P_O$ $x\in X$ $Opt(x)$ $x$

请注意，这只是要求最优解决方案的价值，而不是整个解决方案本身及其所有细节。

定义：在决策问题，记为对应于优化问题如下：给定一对，其中和，决定是否具有可行解使得如果，并且使得 $P_D$ $P_O$ $(x, k)$ $x\in X$ $k\in\mathbb{Q}$ $x$ $y$ $Z(x, y)\le k$ $\odot=\min$ 如果。 $Z(x, y)\ge k$ $\odot=\max$

现在第一观察是，。证明并不困难，在此省略。 $P_O\in \mathrm{NPO} \Rightarrow P_D\in \mathrm{NP}$

现在直观地讲，对应于和并不比本身困难。为了正式表达这种感觉（从而定义等效含义），我们将使用归约法。 $P_E$ $P_D$ $P_O$ $P_O$

回想一下，一个语言是多项式时间可还原成另一种语言，如果有一个函数，在多项式时间可计算，使得对于所有单词，。这种还原性被称为卡普或许多到一个还原性，并且如果还原为通过写以这种方式，我们表示这个 $L_1$ $L_2$ $f$ $x$ $x\in L_1\Leftrightarrow f(x)\in L_2$ $L_1$ $L_2$ $L_1\le_m L_2$ 。这是NP完全性定义的中心概念。

不幸的是，语言之间存在多对一的缩减，并且不清楚如何在优化问题的上下文中使用它们。因此，我们需要考虑另一种可还原性，图灵可还原性。首先我们需要这个：

定义：问题一个预言子是一个（假设的）子例程，可以在恒定时间内解决实例。 $P$ $P$

定义：一个问题是多项式时间图灵还原的一个问题，写入，如果实例可在多项式时间由算法与访问解决于Oracle 。 $P_1$ $P_2$ $P_1\le_T P_2$ $P_1$ $P_2$

非正式地，正如，关系表示，即不大于更难。还很容易看出，如果可以在多项式时间内求解，那么也可以。再次是一个传递关系。以下事实显而易见： $\le_m$ $P_1\le_T P_2$ $P_1$ $P_2$ $P_2$ $P_1$ $\le_T$

让，然后。 $P_O\in \mathrm{NPO}$ $P_D\le_T P_E\le_T P_O$

因为给出了完整的解决方案，所以计算其值并确定其是否满足边界很简单。 $k$

定义：如果两个问题和二者关系，保持，我们写 ; 我们的等值概念。 $P_1$ $P_2$ $P_1\le_T P_2$ $P_2\le P_1$ $P_1\equiv_T P_2$

我们现在准备证明给出了相应的优化问题 $P_D\equiv_T P_E$ 和是整数值。我们必须表明，成立。我们可以确定用二进制搜索usign为ORCALE。的定义 $P_O\in \mathrm{NPO}$ $Z$ $P_E \le_T P_D$ $\odot\{Z(x,y)\mid y\in F(x)\}$ $P_D$ $\mathrm{NPO}$ 确保为一些多项式，所以在二进制搜索步骤的数目是多项式。 $|Z(x, y)|\le 2^{q(|x|)}$ $q$ $|x|$ $\Box$

对于优化问题与的关系不太清楚。在许多具体情况，可以直接表明。为了证明这一点通常在此处给出的框架内成立，我们需要一个附加的假设。 $P_O$ $P_E$ $P_D\equiv_T P_E \equiv_T P_O$

首先，我们需要扩展从对语言对相应的决策问题。那么很容易看出是不是更宽泛。 $\le_m$ $\le_T$ $\le_m$

令和为决策问题；然后。之所以成立，是因为可以将多对一归约解释为以非常有限的方式使用oracle：oracle在最后被调用一次，并且其结果也作为总结果返回。 $P$ $P'$ $P\le_m P' \Rightarrow P\le_T P'$ $\Box$

现在我们可以开始结局了：

让和假设是整数值和是一个NP完全，然后与以前的意见，但它仍然显示。要做到这一点，我们将表现出一个问题使得。那我们有 $P_O\in \mathrm{NPO}$ $Z$ $P_D$

P_{D} \equiv_{T} P_{E} \equiv_{T} P_{O} .

$P_D\equiv_T P_E \equiv_T P_O.$

P_{O} \leq_{T} P_{E}

$P_O\le_T P_E$

P_{O}^{'} \in N P O

$P_O'\in \mathrm{NPO}$

P_{O} \leq_{T} P_{E}^{'}

$P_O\le_T P_E'$

第二和第三

，因为决定和评估版本等价的保持较早校对。第三

从的NP-completness如下

和两个事实前面提到的，即

和

P_{O} \leq_{T} P_{E}^{'} \leq_{T} P_{D}^{'} \leq_{T} P_{D} \leq_{T} P_{E} .

$P_O\le_T P_E' \le_T P_D'\le_T P_D\le_T P_E.$

\leq_{T}

$\le_T$

\leq_{T}

$\le_T$

P_{D}

$P_D$

P_{O} \in N P O \Rightarrow P_{D} \in N P

$P_O\in \mathrm{NPO} \Rightarrow P_D\in \mathrm{NP}$

。

P \leq_{m} P_{O}^{'} \Rightarrow P \leq_{T} P_{O}^{'}

$P\le_m P_O' \Rightarrow P\le_T P_O'$

现在详细说明：假设的可行解是使用配有总阶的字母编码的。令为来自的单词，它们在具有相同长度的单词块内按不减长度的顺序和字典顺序排列。（因此是空字）。对于所有让表示唯一整数使得。两者 $P_O$ $\Sigma$ $w_0, w_1, \ldots$ $\Sigma^*$ $w_0$ $y\in\Sigma^*$ $\sigma(y)$ $i$ $y=w_i$ $\sigma$ 和能够在多项式时间内计算的。让是多项式使得对于所有和所有，我们有。 $\sigma^{-1}$ $q$ $x\in X$ $y\in F(x)$ $\sigma(y)<2^{q(|x|)}$

现在的问题是相同的除了一个修改目标函数。对于和 $P_O'$ $P_O$ $Z'$ $x\in X$ $y\in F(x)$ ，我们采取。 $Z'(x, y)=2^{q(|x|)}\cdot Z(x,y)+\sigma(y)$ $Z'$ 在多项式时间内从而可计算。 $P_O'\in \mathrm{NPO}$

为了表明我们观察到是可行的当且仅当它是可行的。我们可以假设是这种情况，因为相反的情况很难处理。 $P_O\le_T P_E'$ $x$ $P_O$ $P_E'$

的substituion 为是在这个意义上的单调，对于所有，如果 $Z'$ $Z$ $y_1, y_2\in F(x)$ 然后。这意味着对于每个最优解 $Z(x, y_1)<Z(x, y_2)$ $Z'(x, y_1)<Z'(x, y_2)$ $x$ 在是最佳的解决方案在。因此，我们的任务降低到最优解的计算的在。 $P_O'$ $x$ $P_O$ $y$ $x$ $P_O'$

查询为Oracle 我们可以得到的值 $P_E'$ 。将该模的余数得出，可以从该值以多项式时间计算。 $Z'(x,y)=2^{q(|x|)}\cdot Z(x,y)+\sigma(y)$ $2^{q(|x|)}$ $\sigma(y)$ $y$

— 乌里
source

“问题P的预言程序是一个（假设的）子例程，可以在恒定时间内解决P的实例。” 甲骨文必须只花固定的时间吗？

— 蒂姆（Tim）

@Tim当然有书，我在另一个答案

— uli 2012年

@Tim关于oracle的：如果已经发现/设想的降低

两个问题之间

和

已减少找到一种有效的算法的问题

寻找一种有效的算法

。或者换句话说，减少告诉你，为了解决

你可以使用

。就像在

的算法中使用

的子例程。但是问题

和

A \leq_{T} B

$A\le_T B$

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

B

$B$

A

$A$

A

$A$

B

$B$ 通常是我们不知道有效解决方案的问题。而且在图灵可简化性的情况下，我们甚至在根本无法确定所涉及问题的情况下使用它。

— uli 2012年

@Tim因此，

是未知的子例程。将从归约法派生的

假设算法称为oracle 是复杂性理论中的一种习惯。将

的未知子例程称为oracle表示，我们无法希望为

找到有效的算法，就像我们无法希望获得

的oracle一样。这种选择有些不幸，因为它暗示着一种神奇的能力。甲骨文的成本应该是

因为子例程至少必须读取输入

。

B

$B$

A

$A$ $B$

B

$B$

B

$B$

B

$B$

| x |

$|x|$

x

$x$

— uli 2012年

一个很好的答案。我唯一要添加的内容（现在通过另一个问题来讨论）是“优化方向”是不必要的复杂性，具体而言，我们始终可以假设目标函数

应当最大化。如果目的是尽量减少，那么我们就可以定义一个新的目标函数

和重写所有的最小化

为最大化

。

Z

$Z$

Z^{'} = - Z

$Z'=-Z$

Z

$Z$

Z^{'}

$Z'$

— 史蒂文·斯塔德尼基

正如评论所说，答案取决于确切的定义。让我以非常基本（甚至是天真）的方式来解释这个问题。

让是有一定的关系，那就是。 $S$ $S \subseteq \{ (a,b) \mid a,b \in \Sigma^*\}$

现在我们为定义一个搜索问题： $S$

鉴于，找到一个，使得。 $a$ $b$ $(a,b) \in S$

和决定问题的： $S$

鉴于的答案是否。 $(a,b)$ $(a,b) \in S$

_{（例如，在问题给出的示例中，将保存所有对，使得和之间存在一条比短的路径。） $S$ $(u,v,k)$ $u$ $v$ $k$}

请注意，这两个问题已得到明确定义。 对于这个定义，我们可以问两个问题对于任何是否“等效” 。在“等效”中，我的意思是，如果其中一个是可计算的（即，存在一种可以解决该问题的算法），则另一个也可以计算。通常，它们不是。 $S$

主张1：决策暗示搜索。

证明：以为解决的决策问题的算法。给定一个输入，我们可以运行对于任何，一前一后，或并联连接。如果存在，使得，我们最终会找到它。如果不是，算法可能不会停止。 $D_S$ $S$ $a$ $D_S(a,x)$ $x\in \Sigma^*$ $b$ $(a,b)\in S$ $^\dagger$

权利要求2：搜寻并不能意味着决策。

原因是搜索算法返回的可能不同于我们所需的。也就是说，对于每个都有一些很容易找到，而其他则不是。例如，让是一些不可判定语言，然后定义每 $b$ $a$ $b$ $b'$ $L$

S = {(x, 0) ∣ x \in Σ^{*}} \cup {(x, 1) ∣ x \in L} .

$S = \{ (x,0) \mid x\in \Sigma^*\} \cup \{ (x,1) \mid x \in L\}.$

x

$x$ 搜索算法可以返回

。但是，没有决策算法可以回答是否正确

，对于所有的对

。如果可能的话，它将决定一个无法确定的问题，这是不可能的。

0

$0$

(x, 1) \in S

$(x,1) \in S$

(x, 1)

$(x,1)$

这取决于。例如，如果是有界的，则可能存在确实停止的算法。 $^\dagger$ $S$ $S$

— 冉G.
source

正确的决策问题是存在

。

b

$b$

⟨ a, b ⟩ \in S

$\langle a,b \rangle \in S$

— Kaveh

如果将决策定义为存在

，则搜索隐含决策。

b

$b$

— Ran G.

从较弱的意义上讲，即可计算性而不是复杂性是一个更为棘手的问题。

— 卡韦