有趣的排序问题

给定一个带有编号球的管（随机）。管子上有孔以移走球。考虑一个操作的以下步骤：

您可以从孔中拾取一个或多个球，并记住拾取球的顺序。
您需要将管道向左侧倾斜，以使管道中的剩余球向左移动，并占据移除球所产生的空白空间。
您不应更改从烟斗中拾取编号的球的顺序。现在，您可以使用由球的运动产生的空余空间将它们重新放回管道中。

步骤1至3被视为一项操作。

找出按升序对编号的球进行排序所需的最少操作。

例如：如果管包含： $[1\ 4\ 2\ 3\ 5\ 6]$

然后，我们可以取出和和，如果我们倾斜管的左侧，我们得到，和我们插入的顺序对管的端部以获得。 $4$ $5$ $6$ $[1\ 2\ 3]$ $(4\ 5\ 6)$ $[1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6]$

因此，所需的最小步骤数是1。我需要找到对管道进行排序的最少操作。

关于如何解决此问题的任何想法或提示？

sorting permutations

— rakesh
source

如果它们以相反的顺序出现，则您必须按顺序取出2、3，...并最后添加，总共要进行运算。这显然是最坏的情况。

n $n$

— vonbrand

8,7,6,5,4,3,2,1-> 75318642-> 51627384-> 12345678总是取出奇数个位置。

— adrianN

总结一下我的答案：对排列进行排序所需的最小操作数是，其中是下降数。

π $\pi$

⌈log2(d(π−1)+1)⌉ $\lceil \log_2 (d(\pi^{-1})+1) \rceil$

d(⋅) $d(\cdot)$

— Yuval Filmus 2013年

我喜欢从消除反转的角度来考虑它。通过每次操作，您都可以删除任意一组和（其中是整个球体）之间的反转。因此，您只需要仔细选择套即可。

X $X$

S−X $S-X$

S $S$

X $X$

— 2013年

使用以下过程定义一个置换的运行分区号，表示为。令为最大整数，以使数字在以递增顺序出现。从删除它们，然后重复该过程。消耗整个排列所需的回合数为。 $\pi$ $r(\pi)$ $k$ $\min(\pi),\ldots,k$ $\pi$ $\pi$ $r(\pi)$

例如，让我们计算。我们首先预留，得到。然后我们预留，得到。然后我们拨出，得到。最后，我们预留以获得空排列。这需要四轮，所以。 $r(62735814)$ $1$ $6273584$ $234$ $6758$ $5$ $678$ $678$ $r(62735814) = 4$

此表示形式对排序什么用？进行第二次运行，即，并将这些数字向右移动以获得（编辑：按它们在排列中出现的顺序，即）。现在只有两个运行，即，我们可以通过向右移动来对列表进行排序。 $62735814$ $234,678$ $51627384$ $627384$ $1234,5678$ $5678$

现在让我进行以下猜想：对于一个置换，令为一次移动可从到达的所有置换的集合。然后。 $\pi$ $\Pi$ $\pi$ $\min_{\alpha \in \Pi} r(\alpha) = \lceil r(\pi)/2 \rceil$

鉴于这种猜想，很容易证明的排序置换需要移动的最小数量是，我已经验证了这个公式对所有排列为。 $\pi$ $\lceil \log_2 r(\pi) \rceil$ $S_n$ $n \leq 8$

编辑：这是对运行分区号的另一种解释，它给出了计算时间的线性时间算法，并允许我绘制我的猜想的证明，从而验证公式。 $\lceil \log_2 r(\pi) \rceil$

再次考虑排列。第一次运行以结尾的原因是出现在之前。同样，第二次运行以结尾，因为出现在之前，依此类推。因此，排列的游程分区号是的数目，以使出现在之前。 $62735814$ $1$ $2$ $1$ $4$ $5$ $4$ $i$ $i+1$ $i$

如果我们看一下排列的倒数，我们可以更简洁地陈述这一点。再次考虑。以。此置换具有三个下降：（下降的位置小于前一个位置）。每个下降都对应于新运行的开始。因此等于1加的下降数。 $\pi = 62735814$ $\pi^{-1} = 72485136$ $7\mathbf{2}48\mathbf{5}\mathbf{1}36$ $r(\pi)$ $\pi^{-1}$

就而言，该操作是什么样的？设为我们向右移动的数字集，而为留在左侧的数字集。我们替换数字对置换表示它们的相对顺序，并替换数字用置换的。例如，考虑移动。就逆排列而言，它是。所以映射到 $\pi^{-1}$ $B$ $A$ $A$ $\{1,\ldots,|A|\}$ $B$ $\{|A|+1,\ldots,|A|+|B|\}$ $\mathbf{6273}5\mathbf{8}1\mathbf{4} \mapsto 51\mathbf{627384}$ $7\mathbf{248}5\mathbf{136} \mapsto 2\mathbf{468}1\mathbf{357}$ $75$ $21$ 和被映射到。 $248136$ $468357$

仅当和，的下降才会丢失。相反，就，划分为和的分区对应于运行和运行；每次运行结束而运行开始时，都有下降。为了“杀死”下降，我们必须从运行切换到运行。如果我们杀死两次下降，我们将在中间从运行切换到运行，从而导致下降。 $\ldots xy \ldots$ $\pi^{-1}$ $x \in A$ $y \in B$ $\pi^{-1}$ $A$ $B$ $A$ $B$ $B$ $A$ $A$ $B$ $B$ $A$

该参数可以形式化表示，如果是通过操作从的，则，其中是下降的次数。这等效于，因此证明了我的猜想的一个方向。另一个方向比较容易，并且已经在上面概述了：我们只需每隔一秒钟运行一次，然后将这些运行向右推动即可获得满足的置换。 $\alpha$ $\pi$ $d(\alpha^{-1}) \geq \lfloor d(\pi^{-1})/2 \rfloor$ $d(\cdot)$ $r(\alpha) \geq \lceil r(\pi)/2 \rceil$ $\alpha$ $r(\alpha) = \lceil r(\pi/2) \rceil$

— Yuval Filmus
source

您一次要拿出几发球，我知道这是不允许的。

— vonbrand

我按照它们出现在排列中的顺序来处理它们。那是合法的。

— Yuval Filmus 2013年

我有点困惑。能否请您说明排序[6 5 4 3 2 1]所需的最少操作数，并且您还提到了“每秒进行一次，即234,678，并将这些数字移到右侧以获得51627384”，请您解释一下细节，以及如何有效地计算r（π）？

— user6709 2013年

1），所以您需要执行3次运算。例如，。

$r(654321) = 6$

$654321 \to 531|642 \to 51|6234 \to 1234|56$

— Yuval Filmus

2）取所有属于这些游程的数字（以它们在排列中出现的顺序），然后将它们移到右侧。在这种情况下，您将并将其向右移动，将向左移动。

$627384$

$51$

— Yuval Filmus 2013年