编程语言和数学基础如何关联？

基本上我知道数学的三个基础

1. 集合论
2. 类型理论
3. 范畴论

那么编程语言和数学基础在哪些方面相关？

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最初的问题是“基于数学基础的语言编程”

与添加的paragarph

理论的实现
1. Coq中的类型论
2. SETL中的
集合论3. Haskell中的范畴论

根据建议，该内容已更改为“编程语言和数学基础如何相关”

由于这是我不知道所要问的问题但想学习一些东西的问题之一，因此，我正在修改问题以使其对学习和其他人更有价值，但又保留了细节以免安德烈·鲍尔（Andrej Bauer）当前的答案似乎不合时宜。

感谢到目前为止的所有评论和答复，我正在向他们学习。

[注意：此段现在已过时。]您的问题的标题包含一个不必要的假设，即编程语言“基于数学基础”。尽管这两个区域确实具有重要关系，但通常情况并非如此。更为准确的说法是（某些）编程语言是使用基础技术设计的。一个更好的问题是“编程语言和数学基础如何相关？”

最普遍的联系体现在标语作为程序的证明中，可以使它以多种方式起作用。该柯里-霍华德同构是最明显的一个。通过它，我们可以立即联系类型理论，逻辑和程序设计。但是应该强调的是，在每种通用编程语言都支持的通用递归的情况下，Curry-Howard对应不能很好地工作（因为每种类型都已被使用）。

使口号证明作为程序工作的一种更巧妙的方法是使用可实现性。这里我们也将证明和程序联系起来，但是现在的方向是从证明到程序：每个证明都给出一个程序，但不是每个程序都一定是证明。

基于基础编程语言的主要例子是阿格达，它仅仅是依赖类型理论的实现。但是，Agda不是通用编程语言，因为它不支持通用递归。Agda中的每个功能都是合计的，有些可计算的功能无法在Agda中实现。实际上，程序员不会注意到这一点，但是他们会注意到Agda不允许使用不确定的值，例如无限循环。

勒柯克是不是一种编程语言，而是一种证明助手。但是，它也具有提取功能，可以提供来自证明的程序。证明助手和编程语言不应相互混淆。

我们不应忘记，序言和其他逻辑编程语言从计算是证明搜索的思想中汲取了灵感。当然，这与逻辑紧密相关。

Haskell是一种基于领域理论的通用编程语言。也就是说，它的语义是领域理论的，因为它必须考虑部分功能和递归。Haskell社区开发了许多受类别理论启发的技术，其中最著名的是monad，但不应与monad混淆。通常，高级编程功能通常结合领域理论和类别理论来对待，但这不是街上的Haskell程序员擅长的。Haskell类型的所谓“句法范畴”是Haskell与范畴理论如何相互对应的外行人观点。

集合论（古典的或建设性的）似乎在较小程度上启发了编程语言中的思想。当然，建设性集合论与通过建设性逻辑进行编程有联系。直觉集合论在编程语言中的一项重要应用是Alex Simpson提出的，他用它来使综合领域理论发挥作用。但这是相当高级的东西，也许请看这些幻灯片。Jean-Louis Krivine为古典布景理论开发了一个非常有趣的可实现性品牌。这似乎是将经典集合理论与程序设计联系起来的好方法。

总而言之，编程语言理论使用基础技术。这并不奇怪，因为我们认为计算是一个基本概念。但是，说编程语言是“基于”某种基础的，这太天真了。实际上，基础的“集合论-类型论-范畴论”三分法仍然只是一个有用的高级观察，可以用各种方式在数学上精确地进行观察，但是这没有必要。这是历史性的事故。

这是一个非常复杂的主题，关于该主题的书籍很多，最近的一本叫做《图灵大教堂》，它是数字宇宙的起源，也是逻辑引擎，数学家和计算机的起源。

计算机语言已经发展了几十年，但是不管您相信与否，都有两种原始的编程语言显示出数学和计算机科学之间的紧密联系：

• 图灵在1936年关于停顿问题的论文。解决希尔伯特在本世纪初提出的问题的理论结构，即Entscheidungsproblem，即解决数学问题的自动化程序！

• 同时开发的教堂的lambda演算仍然可以在诸如Lisp和Scheme之类的语言中生存

有两个关键人物跨越“编程语言”超越了数学和计算机科学的界限：

• 信息理论的首创香农表示数学和计算机科学之间的渊源颇深

• 冯·诺依曼（Von Neumann）是数学和计算机科学之间的另一个重要人物。他发明了冯·诺依曼（von neumann）架构，将程序存储在内存中。

甚至更早的“编程语言”：

• 英语中的“计算机”一词最初的含义更像是“计算器”，它对数字进行了数学运算，其含义已实质上转移到了当今的通用编程概念。因此，编程语言与早期计算器之间存在联系。
• 从19世纪末到20世纪初，织机上使用的打孔卡是用于编织图案的“编程语言”。请注意，在1960年代，打孔卡主要用于大型机编程。这些最初被视为“计算机”（使用数学！），而不是现代通用计算机。
• Babbage和Ada Lovelace在1800年代中期使用“计算引擎”开发了“编程语言”的基本概念。
• 布尔代数最初是Boole发明的纯数学概念
• 用于数学计算的古老（千年历史）算盘被视为现代计算机的先驱。但是可以说，操纵它的操作是一种“编程语言”（人类遵循）

但是，在现代编程语言中，随着抽象的增加和扩展，在过去的几十年中，与数学的清晰，直接的联系有所减少，但它始终是固有的，并且在某些方面有所增强。例如，具有严格类型的Java之类的语言与数学有联系，并且在大约1990年代末期，主流计算机语言（例如c ++，Java，Ruby等）开始显式地将许多数学高级对象实现为接近原语的语言。语言，例如集合，树（例如Btree或哈希图）等。