SML中的函子和范畴论之间有什么关系？

与Andrej Bauer在此答案中的陈述相同的想法

Haskell社区开发了许多受类别理论启发的技术，其中最著名的是monad，但不应将其与monad混淆。

之间是什么关系仿函数的SML和函子范畴论？

由于我不了解其他语言（例如Haskell或OCaml）中函子的详细信息，因此，如果有有价值的信息，请同时添加其他语言的部分。

类别构成一个（大）类别，其对象是（小）类别，其态射是小类别之间的函子。从这个意义上说，范畴论中的函子是“更高尺寸的态射”。

ML函子不是该词的范畴意义上的函子。但是从类型理论的意义上讲，它们是“更大尺寸的函数”。

将典型编程语言中的具体数据类型视为“小”。因此int，bool，int -> int等都是小的，在Java类是小的，如C.以及结构我们可能会收集所有数据类型到一个名为大集合Type。A型的构造，诸如list或者array是从函数Type到Type。因此，这是一个“大”功能。ML函子只是一个稍微复杂的大型函数：它接受几个小东西作为参数，并返回几个小东西。“几个小东西放在一起” 在ML中称为结构。根据马丁·洛夫类型理论，我们有一个小类型的宇宙 Type。大类型通常称为种。因此，我们有：

1. 值的类型的元素（例如：42 : int）
2. 类型是元素Type（例如：int : Type）
3. ML签名种（例如：OrderedType）
4. 类型构造器是种元素（例如：list : Type -> Type）
5. ML是钢结构种元素（例如：String : OrderedType）
6. 仿函数ML是种之间的功能（例如：Map.Make : Map.OrderedType -> Make.S）

现在我们可以在ML和类别之间进行类比，其中函子对应于函子。但是我们还注意到ML中的数据类型就像“没有形态学的小类别”，换句话说，它们比像类别更像集合。我们可以在机器学习和集合论之间进行类比：

1. 数据类型就像集合
2. 种类就像集合论课
3. 函子就像类大小的函数

标准ML结构类似于代数。它的签名描述了一整类相似形状的代数。

标准ML函子是从一类代数到另一类代数的映射。例如，使用仿函数进行类比，或者将添加一个与阿贝尔群相关的可乘单极体，使它们成环。 ˚F ：甲b → ř Ñ $F : {\bf Mon} \to {\bf Grp}$$F : {\bf Ab} \to {\bf Rng}$

这些想法大多数由Burstall和Goguen在设计称为CLEAR的规范语言的系列论文中提出（DBLP页面上的参考c5和c6 。）David MacQueen当时与Burstall和Sannella一起工作，并且非常熟悉与问题。标准ML模块系统基于这些思想。

大多数人会想知道的是，射影呢？范畴理论函子具有一个对象部分和一个态射部分。标准ML函子具有相同的值吗？答案是是和否。

• 如果结构是一阶的，则答案的是部分适用。然后，同一签名的不同结构之间存在同态，标准ML函数将它们自动映射为结果签名的同态。
• 当结构具有高阶运算时，答案的否定部分适用。

这是否意味着Standard ML偏离了类别理论？我不这么认为。我宁愿认为Standard ML做正确的事，并且类别理论还没有赶上。范畴论尚不知道如何处理高阶函数。有一天，它将。

在那里，是对我所知，与没有正式的关系函子范畴论和函子在ML（SML或者Ocaml，他们是足够接近我们的目的在这里）。

在范畴论中，函子是对对象进行操作的函数。它们是态射态之上的一个层次，态射态通常是对元素进行操作的功能（许多类别的对象具有某些代数结构，而箭头则是这些结构之间的同态）。ML函子是在模块上运行的功能，比在核心语言值上运行的功能高一级。我认为相似之处到此为止。

ML函数是Dave McQueen在1985年修订的ML标准模块 （citeseerx）中受洗的，该模块出现在“ 多态性通讯”中（原始论文使用“参数模块”一词-后来的出版物倾向于使用形容词“参数化”）。不幸的是，我找不到那张纸的副本。他在1986年的论文《使用从属类型表示模块化结构》 （citeseerx）中给出了已建立的名称。