是否存在次指数时间算法来解决NP完全问题？

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是否存在已证明次指数时间算法的NP完全问题？

我要的是一般案例的输入，这里我不是在谈论易处理的特殊案例。

所谓次指数，是指多项式之上的增长阶，但小于指数，例如。 $n^{\log n}$

— ksb
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“次指数”是什么意思？如果您的意思是

，那么答案肯定是。如果您的意思是

，我相信答案是否定的。

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

2^{n^{o (1)}}

$2^{n^{o(1)}}$

— JeffE

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取决于您所指的次指数。下面，我解释“次指数”的一些含义以及在每种情况下会发生什么。这些类中的每一个都包含在其下面的类中。

I. $2^{n^{o(1)}}$

如果用次指数表示，那么复杂性理论中的一个猜想ETH（指数时间假设）意味着没有 -hard问题可以有运行时间为。 $2^{n^{o(1)}}$ $\mathsf{NP}$ $2^{n^{o(1)}}$

请注意，此类在多项式组合下处于关闭状态。如果我们有一个针对任何难题的次指数时间算法，我们可以将其与SAT的多项式时间约简相结合，以获得针对3SAT的次指数算法，这将违反ETH。 $\mathsf{NP}$

二。，即为所有 $\bigcap_{0 < \epsilon} 2^{O(n^\epsilon)}$ $2^{O(n^\epsilon)}$ $0 < \epsilon$

情况与上一个类似。

它是根据多项式关闭的，因此在不违反ETH的情况下，无法解决 -hard问题。 $\mathsf{NP}$

三，，即为一些 $\bigcup_{\epsilon < 1} 2^{O(n^\epsilon)}$ $2^{O(n^\epsilon)}$ $\epsilon < 1$

如果次指数你的意思是对于一些，则答案是肯定的，有可证明这样的问题。 $2^{O(n^\epsilon)}$ $\epsilon<1$

采取像SAT -complete问题。它具有在时间运行的蛮力算法。现在，通过将大小为的字符串添加到输入中来考虑SAT的填充版本： $\mathsf{NP}$ $2^{O(n)}$ $n^k$

S A T^{'} = {⟨ φ, w ⟩ ∣ φ \in S A T and | w | = | φ |^{k}}

$SAT' = \{\langle \varphi,w\rangle \mid \varphi\in SAT \text{ and } |w|=|\varphi|^k \}$

现在这个问题是难题，可以在 $\mathsf{NP}$ 。 $2^{O(n^\frac{1}{k})}$

IV。 $2^{o(n)}$

这包含上一课，答案是相似的。

V. ，即对于所有 $\bigcap_{0 < \epsilon}2^{\epsilon n}$ $2^{\epsilon n}$ $\epsilon>0$

这包含上一课，答案是相似的。

VI。，即对于一些 $\bigcup_{\epsilon < 1}2^{\epsilon n}$ $2^{\epsilon n}$ $\epsilon<1$

这包含上一课，答案是相似的。

次指数是什么意思？

“多项式以上”不是上限，而是下限，称为超多项式。

像类的函数称为准多项式，顾名思义，它们几乎是多项式，并且远非指数式，次指数通常用于指代具有更快的增长率的更大的函数类。 $n^{\lg n}$

顾名思义，“次指数”表示慢于指数。通过指数通常是指在类函数，或在更好的类（其下组合物封闭多项式）。 $2^{\Theta(n)}$ $2^{n^{\Theta(1)}}$

$\Theta$ $o$ $\epsilon$ $\Theta$ $\epsilon$ $\epsilon>0$ $\Theta$ $\epsilon$ $\epsilon<1$

哪个应该称为次指数是有争议的。通常，人们在工作中使用他们需要的那个，并将其称为次指数。

$\mathsf{Exp}$ $2^{n^{O(1)}}$

$\mathsf{SubExp}$

III用于算法上限，如Pal的答案中提到的那样。

IV也很常见。

V用于陈述ETH猜想。

$\mathsf{L}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{PSpace}$ $\mathsf{Exp}$

夏日

$\mathsf{NP}$

— 卡韦
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这个答案应该去维基百科。

— Erel Segal-Halevi 2013年

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$2^{O(\sqrt{n} \log n)}n^{O(1)}$ $2^{O(\sqrt{n})}n^{O(1)}$

比赛中的反馈弧线设置 [Noga Alon，Daniel Lokshtanov，Saket Saurabh，ALP 2009]
最小填充数和完成链数 [Fomin and Villanger SODA 2012]
分割边缘删除 [Ghosh等，SWAT 2012]
$t$
有很多二维性问题，有界属图，尤其是平面图上的各种图问题（请参阅Demaine，Fomin，Hajiaghayi，Thilikos：有界属图和无H次图上的次指数参数化算法）
平面图上Steiner树的次指数时间参数化算法 [Pilipczuk et al STACS 2013]
普通完全完成，阈值完成和伪拆分完成 [D. et al STACS 2014]
间隔完成 [Bliznets等]
适当的时间间隔完成 [Bliznets等]

— 波尔GD
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2^{O (n^{ϵ})}

$2^{O(n^\epsilon)}$

ϵ < 1

$\epsilon<1$

2^{n^{o (1)}}

$2^{n^{o(1)}}$

是否存在次指数时间算法来解决NP完全问题？

I. 2ño （1 ）2no(1)2^{n^{o(1)}}

二。，即2 ø （Ñ ε）为所有0 < ε⋂0 < ϵ2Ø （ñϵ）⋂0<ϵ2O(nϵ)\bigcap_{0 < \epsilon} 2^{O(n^\epsilon)}2Ø （ñϵ）2O(nϵ)2^{O(n^\epsilon)} 0 < ϵ0<ϵ0 < \epsilon

三，，即2 ø （Ñ ε）为一些ε < 1⋃ϵ < 12Ø （ñϵ）⋃ϵ<12O(nϵ)\bigcup_{\epsilon < 1} 2^{O(n^\epsilon)}2Ø （ñϵ）2O(nϵ)2^{O(n^\epsilon)} ϵ < 1ϵ<1\epsilon < 1

IV。2o （n ）2o(n)2^{o(n)}

V. ，即2 ε Ñ对于所有ε > 0⋂0 < ϵ2ϵ n⋂0<ϵ2ϵn\bigcap_{0 < \epsilon}2^{\epsilon n}2ϵ n2ϵn2^{\epsilon n} ϵ> 0ϵ>0\epsilon>0

VI。，即2 ε Ñ对于一些ε < 1⋃ϵ < 12ϵ n⋃ϵ<12ϵn\bigcup_{\epsilon < 1}2^{\epsilon n}2ϵ n2ϵn2^{\epsilon n} ϵ < 1ϵ<1\epsilon<1

次指数是什么意思？

I. $2^{n^{o(1)}}$

二。，即为所有 $\bigcap_{0 < \epsilon} 2^{O(n^\epsilon)}$ $2^{O(n^\epsilon)}$ $0 < \epsilon$

三，，即为一些 $\bigcup_{\epsilon < 1} 2^{O(n^\epsilon)}$ $2^{O(n^\epsilon)}$ $\epsilon < 1$

IV。 $2^{o(n)}$

V. ，即对于所有 $\bigcap_{0 < \epsilon}2^{\epsilon n}$ $2^{\epsilon n}$ $\epsilon>0$

VI。，即对于一些 $\bigcup_{\epsilon < 1}2^{\epsilon n}$ $2^{\epsilon n}$ $\epsilon<1$