类别理论的含义还不知道如何处理高阶函数？

在阅读乌代雷迪的答案到什么是SML仿函数和类理论之间的关系？乌代州

范畴论尚不知道如何处理高阶函数。有一天，它将。

由于我认为范畴论可以作为数学基础，因此应该有可能推导所有数学和高阶函数。

那么，范畴论的含义是什么，尚不知道如何处理高阶函数？将类别理论视为数学基础是否有效？

functional-programming category-theory

— 盖伊·编码
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该讨论对于cstheory.stackexchange.com是完美的。

— Martin Berger

Answers:

高阶函数的问题很容易说明。

类的类型构造函数不是函子。应该会的。 $T(X) = [X \to X]$
多态函数等不自然的转变。应该会的。 ${\it twice}_X : T(X) \to T(X) = \lambda f.\, f \circ f$

如果你读Eilenberg和麦克莱恩的原始类别理论的论文，（PDF）的直觉，他们现在盖的情况下。但是他们的理论却没有。他们的论文是1945 年的绝好论文！但是，今天，我们需要更多。

范畴论者对这些问题的反应有点困惑。它们就像是高阶运算构成了计算机科学的思想；它们对数学没有影响。如果真是这样，那么数学基础就不足以成为计算机科学基础。

但是我并不那么相信。我相信高阶函数对数学也将非常重要。但是它们尚未得到认真的探索。我希望有朝一日能够对它们进行探索，并能体会范畴论的局限性。

— 乌代·雷迪（Uday Reddy）
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令人惊讶的是，考虑到探索高维代数，n类理论等时所走的深度，他们不认为高阶函数很有趣。相比之下，高阶函数似乎实实在在地。特别是，如果地球涉及Haskell程序。

— Dave Clarke

@DaveClarke。我认为他们希望看到的是一个引人注目的示例，例如一个艾伦伯格和麦克拉恩。所有

维向量空间都是同构的。因此，一个向量空间是同构于自己的双：

。但是，这些同构不是“自然的”。（他们使用特定的基地- “表示相关”在我们说话）。在另一方面，同构

是“自然”，以同样的方式对所有基地。要要求分类理论2.0，我们需要一个类似的杀手example例子！

n

$n$

A ≅ A^{*}

$A \cong A^*$

A ≅ A^{* *}

$A \cong A^{**}$

— Uday Reddy

@DaveClarke。在普通数学中发生的事情是，数学家非常巧妙地将高阶事物简化为一阶结构。例如，我上面给出的类型

只是一个monoid，其乘法是一阶运算。如果您想起线性代数，则将线性变换

转换为向量空间，然后其所有运算都变为一阶。自动机理论（再次是计算机科学）可能是这个技巧不起作用的第一个地方。如果艾伦贝格（Eilenberg）再过10年的活跃生活，他可能会继续解决这个问题。

T (X)

$T(X)$

A \to B

$A \to B$

— Uday Reddy 2013年

+1这真的很有趣。您知道进一步参考这些问题的参考资料吗？

— 卡夫

@UdayReddy可以说，高阶函数有一个聪明的一阶化，即R. Milner's Functions as process，它将

演算转换为

演算。功能的博弈论一阶化是米尔纳思想的变体。当然，

演算本身不能很好地与当前的同构范畴理论概念打交道。因此，今天，当我们比较流程时，通常使用双仿真的变体作为工具。也许这不是巧合？

λ

$\lambda$

π

$\pi$

π

$\pi$

— Martin Berger

[第二个答案概述了正确处理高阶函数的“类别理论2.0”的外观。

很长时间以来，我们就知道如何处理高阶函数。

当代数结构具有高阶运算时，同态不起作用。我们必须改用逻辑关系。换句话说，我们必须从“ 功能保留结构”转变为“ 关系保留结构”。
要谈论高阶类型的“均匀”或“同时给定”转换，自然性是行不通的。我们必须改为使用关系参数。换句话说，我们必须从“保留所有形态的家庭”转变为“保留所有逻辑关系的家庭”。
$\to$

Peter O'Hearn在“ 领域和指称语义：历史，成就和开放性问题（CiteSeerX） ”中的“关系参数性”部分中对这些问题进行了快速介绍。

建立“类别理论2.0”的首次尝试是在O'Hearn和Tennent的参数和局部变量（CiteSeerX）中进行的。
布赖恩·邓菲（Brian Dunphy）的博士学位论文：参数性是自反图形（CiteSeerX）中均匀性的概念，建立在它们的框架上，并公理化了获得参数性结果所需的关系结构。我建议使用Dunphy的论文，以便对所有问题进行很好的概述。
为了完整起见，我还应该提到克劳迪奥·埃尔米达（Claudio Hermida）的博士学位论文：纤维化，逻辑谓词和不确定性（PDF），这是第一个在范畴论理论背景下研究逻辑关系的论文，但对大多数人来说，他的论断可能过于技术化。

我还可以补充一点，关于状态的推理是高阶函数显着出现的地方。自动机理论家在一篇名为《自动机产品和覆盖问题》的历史性论文中第一个认识到同态不能正常工作的人。他们使用“弱同态”和“覆盖关系”等术语来指代逻辑关系。在适当的时候，诸如“模拟”和“双模拟”之类的术语被用来指代它们。Davide Sangiorgi的调查文章：关于“模拟与共生的起源”涵盖了所有早期历史以及更多内容。

关系推理的需求反复出现在关于状态的推理中，特别是命令式编程。很少有人注意到卑微的“分号”是一个高阶运算。因此，在不知道如何处理高阶函数的情况下就无法开始思考命令式程序。我们一直错误地认为数学可以解决所有问题，因此忽略了状态和命令式编程的问题。因此，如果数学家不了解状态，那肯定是不好的！没有东西会离事实很远。状态是计算机科学的核心。通过向人们展示如何处理国家，我们将在总体上推进科学！

— 乌代·雷迪（Uday Reddy）
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@GuyCoder，我认为这是个好主意。顺便说一句，我想这个问题和那个问题对于理论计算机科学也很重要，以防您希望将其张贴在这里。

— 卡夫（Kaveh）

在与Uday讨论之后，第二个答案将不再特别询问新问题。:)

— Guy Coder

国家是相对论的。

— 谢尔比摩尔三世