类别理论的含义还不知道如何处理高阶函数?


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在阅读乌代雷迪的 答案什么是SML仿函数和类理论之间的关系?乌代州

范畴论尚不知道如何处理高阶函数。有一天,它将。

由于我认为范畴论可以作为数学基础,因此应该有可能推导所有数学和高阶函数。

那么,范畴论的含义是什么,尚不知道如何处理高阶函数?将类别理论视为数学基础是否有效?


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该讨论对于cstheory.stackexchange.com是完美的。
Martin Berger

Answers:


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高阶函数的问题很容易说明。

  • 类的类型构造函数不是函子。应该会的。 ŤX=[XX]

  • 多态函数等不自然的转变。应该会的。Ťw一世CËXŤXŤX=λFFF

如果你读Eilenberg和麦克莱恩的原始类别理论的论文(PDF)的直觉,他们现在盖的情况下。但是他们的理论却没有。他们的论文是1945 年的绝好论文!但是,今天,我们需要更多。

范畴论者对这些问题的反应有点困惑。它们就像是高阶运算构成了计算机科学的思想;它们对数学没有影响。如果真是这样,那么数学基础就不足以成为计算机科学基础。

但是我并不那么相信。我相信高阶函数对数学也将非常重要。但是它们尚未得到认真的探索。我希望有朝一日能够对它们进行探索,并能体会范畴论的局限性。


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令人惊讶的是,考虑到探索高维代数,n类理论等时所走的深度,他们不认为高阶函数很有趣。相比之下,高阶函数似乎实实在在地。特别是,如果地球涉及Haskell程序。
Dave Clarke

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@DaveClarke。我认为他们希望看到的是一个引人注目的示例,例如一个艾伦伯格和麦克拉恩。所有维向量空间都是同构的。因此,一个向量空间是同构于自己的双:*。但是,这些同构不是“自然的”。(他们使用特定的基地- “表示相关”在我们说话)。在另一方面,同构* *是“自然”,以同样的方式对所有基地。要要求分类理论2.0,我们需要一个类似的杀手example例子!ñ一种一种一种一种
Uday Reddy

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@DaveClarke。在普通数学中发生的事情是,数学家非常巧妙地将高阶事物简化为一阶结构。例如,我上面给出的类型只是一个monoid,其乘法是一运算。如果您想起线性代数,则将线性变换A B转换为向量空间,然后其所有运算都变为一阶。自动机理论(再次是计算机科学)可能是这个技巧不起作用的第一个地方。如果艾伦贝格(Eilenberg)再过10年的活跃生活,他可能会继续解决这个问题。ŤX一种
Uday Reddy 2013年

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+1这真的很有趣。您知道进一步参考这些问题的参考资料吗?
卡夫

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@UdayReddy可以说,高阶函数有一个聪明的一阶化,即R. Milner's Functions as process,它将演算转换为π-演算。功能的博弈论一阶化是米尔纳思想的变体。当然,π演算本身不能很好地与当前的同构范畴理论概念打交道。因此,今天,当我们比较流程时,通常使用双仿真的变体作为工具。也许这不是巧合?λππ
Martin Berger

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[第二个答案概述了正确处理高阶函数的“类别理论2.0”的外观。

很长时间以来,我们就知道如何处理高阶函数。

  • 当代数结构具有高阶运算时,同态不起作用。我们必须改用逻辑关系。换句话说,我们必须从“ 功能保留结构”转变为“ 关系保留结构”。

  • 要谈论高阶类型的“均匀”或“同时给定”转换,自然性是行不通的。我们必须改为使用关系参数。换句话说,我们必须从“保留所有形态的家庭”转变为“保留所有逻辑关系的家庭”。

Peter O'Hearn在“ 领域和指称语义:历史,成就和开放性问题 (CiteSeerX) ”中的“关系参数性”部分中对这些问题进行了快速介绍。

我还可以补充一点,关于状态的推理是高阶函数显着出现的地方。自动机理论家在一篇名为《自动机产品和覆盖问题》的历史性论文中第一个认识到同态不能正常工作的人。他们使用“弱同态”和“覆盖关系”等术语来指代逻辑关系。在适当的时候,诸如“模拟”和“双模拟”之类的术语被用来指代它们。Davide Sangiorgi的调查文章:关于“模拟与共生的起源”涵盖了所有早期历史以及更多内容。

关系推理的需求反复出现在关于状态的推理中,特别是命令式编程。很少有人注意到卑微的“分号”是一个高阶运算。因此,在不知道如何处理高阶函数的情况下就无法开始思考命令式程序。我们一直错误地认为数学可以解决所有问题,因此忽略了状态和命令式编程的问题。因此,如果数学家不了解状态,那肯定是不好的!没有东西会离事实很远。状态是计算机科学的核心。通过向人们展示如何处理国家,我们将在总体上推进科学!


@GuyCoder,我认为这是个好主意。顺便说一句,我想这个问题和那个问题对于理论计算机科学也很重要,以防您希望将其张贴在这里。
卡夫(Kaveh)

在与Uday讨论之后,第二个答案将不再特别询问新问题。:)
Guy Coder

国家是相对论的。
谢尔比摩尔三世
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