表明对二部图的最小顶点删除是NP完全的

考虑以下问题，其输入实例为简单图和自然整数。 $G$ $k$

是否有一个集合使得是二分式且？ $S \subseteq V(G)$ $G - S$ $|S| \leq k$

我想通过减少3-SAT， -CLIQUE， -DOMINATING SET或 -VERTEX COVER来显示此问题是 -complete。 $\rm{NP}$ $k$ $k$ $k$

我相信我可以减少3色问题，所以我只需要看看如何减少上述问题之一。但是，由于那将是一团糟，我想知道是否有人认为可以很好地减少上述问题。

另外，这个决策问题有名字吗？

complexity-theory np-complete reductions

— 耶内
source

奇数循环横向。

— 2013年

这似乎类似于反馈顶点集。也就是说，您要找到要删除的最小顶点子集，以使生成的图是非循环的。根据定义，无环图是两部分的树（或森林）。

— Nicholas Mancuso

@NicholasMancuso不太相似。就像我在上面说的那样，这确实是奇数循环横向问题。或正如Vor所指出的那样，在70年代和80年代被Yannakakis称为Bipartite节点（或顶点）删除。

— 帕尔GD

@PålGD，我同意。我认为最简单的减少方法是FVS。但是，通过将其定义为“奇数循环横向”，就不必这样做了。

— Nicholas Mancuso

@Jernej：您说：“ ...我想通过将问题减少到 3-SAT，即k-CLIQUE，来表明NP中的问题。” 你的意思是“我想表明，这个问题是NP难的使用减少，从 3-SAT，K-结党营私......”？（问题显然在NP中，因为可以在线性时间内测试图是否为二分图）

— Vor

您的问题是一类称为节点删除问题的问题的特例：

JM Lewis和M. Yannakakis，“遗传特性的节点缺失问题是NP完全的”

...这与类的定义图问题如下纸优惠：
对于一个固定的图形属性，发现必须从一个给定的图中删除节点（或顶点）的最小数目使得结果满足。我们称之为节点缺失问题为。我们的研究结果显示，如果是一个平凡的属性，它是遗传性的诱导子图，然后为节点缺失问题是NP难问题。此外，如果我们补充说，测试的条件可以在多项式时间内完成，那么我们的研究结果暗示节点缺失的问题 $\Pi$ $G$ $\Pi$ $\Pi$ $\Pi$ $\Pi$ $\Pi$ 是NP完全的。... $\Pi$

您的问题是二分性的节点删除问题，但是（如Pal所述），今天它被称为奇数循环遍历（OCT）问题。

编辑

对于直接减少的问题，我从3SAT想到了这一点。

鉴于3SAT的实例与变量和条款，构建以下图：添加两个节点为每个变量和它们之间的边缘。为了模拟真值指派，添加对于每个变量节点并将它们都连接到和 ; 以这种方式，为了使至多一个二分图删除节点，至少一个之间和必须删除。最后对于每个子句 $n$ $m$ $x_i, \overline{x_i}$ $n+1$ $x_i$ $x_i$ $\overline{x_i}$ $n$ $x_i$ $\overline{x_i}$ 增加4个节点，并建立一个奇数循环以连接的变量。 $C_j$ $C_j$

当且仅当原始3SAT公式是可满足的时，结果图才能被分割为最多节点。 $G$ $n$

在此处输入图片说明

— Vor
source

这并不是问题所要求的答案。OP希望使用给定的问题显式减少。此外，该问题今天被称为奇数循环遍历。

— 帕尔GD

@PålGD：你是对的。

— 2013年

是的，但是我无法立即看到OP的问题清单有所减少，但是……我只知道Yannakakis提到的问题。

— 帕尔GD

@PålGD：我会考虑一个不同的削减，但老实说，我不确定OP到底想要什么（请参阅上面的评论）。

— 2013年

@Vor我想要的是将上述问题之一简化为一个。我知道这篇文章，但我想寻找最直接的减少方法。

— 耶内（Jernej）