Beta扩展的汇合

令$\to_\beta$是λ微积分中的$\beta$约简。定义β -expansion ← β由牛逼“ ← β ŧ$\lambda$$\beta$$\leftarrow_\beta$$t'\leftarrow_\beta t \iff t\to_\beta t'$。

是$\leftarrow_\beta$融合？换句话说，我们有任何$l,d,r$，如果$l \to_\beta^* d\leftarrow_\beta^* r$，则存在$u$这样$l\leftarrow_\beta^* u \to_\beta^* r$？

关键字：向上汇合，倒置CR属性

我开始看弱属性：本地汇合（即，如果$l \to_\beta d\leftarrow_\beta r$，然后$l\leftarrow_\beta^* u \to_\beta^* r$）。即使这是正确的，但由于$\beta$扩展是非终止的，所以这并不意味着融合，但是我认为这将有助于我理解障碍。

（顶部）的情况下都减少是在顶层，设定成为$(\lambda x_1.b_1)a_1\rightarrow b_1[a_1/x_1]=b_2[a_2/x_2]\leftarrow (\lambda x_2.b_2)a_2$。直到进行$\alpha$命名，我们可以假设$x_1\not =x_2$，那么$x_1$和$x_2$都不是免费的。

（掷）如果$x_1$不处于自由$b_1$，我们有$b_1=b_2[a_2/x_2]$，因此具有$(\lambda x_1.b_1)a_1=(\lambda x_1.b_2[a_2/x_2])a_1\leftarrow(\lambda x_1.(\lambda x_2.b_2)a_2)a_1\rightarrow (\lambda x_2.b_2)a_2$。

对于情况（顶部）的归纳（在$b_1$和$b_2$）的幼稚证明将如下所示：

• 如果$b_1$是变量$y_1$，

  • 如果$y_1=x_1$，设定成为$(\lambda x_1.x_1)a_1\rightarrow a_1=b_2[a_2/x_2]\leftarrow (\lambda x_2.b_2)a_2$，我们确实有$(\lambda x_1.x_1)a_1=(\lambda x_1.x_1)(b_2[a_2/x_2])\leftarrow (\lambda x_1.x_1)((\lambda x_2.b_2)a_2)\rightarrow (\lambda x_2.b_2)a_2$。

  • 如果$y_1\not=x_1$，那么我们可以简单地使用（Throw）。

• 同样的证明适用于$b_2$是变量。

• 为$b_1=\lambda y.c_1$和$b_2=\lambda y.c_2$，设定成为$(\lambda x_1.\lambda y. c_1)a_1\rightarrow \lambda y.c_1[a_1/x_1]=\lambda y.c_2[a_2/x_2]\leftarrow (\lambda x_2.\lambda y.c_2)a_2$和感应假设给出$d$使得$(\lambda x_1.c_1)a_1\leftarrow d\rightarrow (\lambda x_2.c_2)a_2$这意味着$\lambda y.(\lambda x_1.c_1)a_1\leftarrow \lambda y.d\rightarrow \lambda y.(\lambda x_2.c_2)a_2$。不幸的是，我们没有$\lambda y.(\lambda x_2.c_2)a_2\rightarrow (\lambda x_2.\lambda y.c_2)a_2$。（这使我想到了$\sigma$归约。）

• 应用中也会出现类似的问题：$\lambda$不在应有的位置。

两个反例是：

• $(\lambda x. b x (b c)) c$和$(\lambda x. x x) (b c)$（普洛特金）。
• $(\lambda x. a (b x)) (c d)$和$a ((\lambda y. b (c y)) d)$（范Oostrom）。

下面详述的反例在HP Barenredgt撰写的《 Lambda微积分：其语法和语义》，修订版（1984），练习3.5.11（vii）中给出。它归因于Plotkin（无确切参考）。我提供了一个不完全的证据，该证据是由Vincent van Oostrom提出的另一反例的证据改编而成的，该证据取自《第五个：轻松扩展练习》（1996）[PDF]。

证明的基础是标准化定理，该定理使我们仅考虑某种形式的beta展开。直观地讲，标准折减是指使所有收缩从左向右收缩的折减。更准确地说，如果步骤$M_i$的redex是先前步骤$M_j$的redex的左边的redex的残差，则减少是非标准的；Redex的“左”和“右”由收缩Redex时消除的$\lambda$的位置定义。标准化定理指出，那里，如果$M \rightarrow_\beta^* N$则存在标准还原从$M$至$N$。

让$L = (\lambda x. b x (b c)) c$和$R = (\lambda x. x x) (b c)$。这两个术语都可以一步将β还原为$b c (b c)$。

假设有一个共同的祖先$A$使得$L \leftarrow_\beta^* A \rightarrow_\beta^* R$。归功于标准化定理，我们可以假设两个归约都是标准的。在不失一般性的前提下，假设$A$是这些减少量有所不同的第一步。这两个削减，让$\sigma$是一个，其中第一步骤的归约式是向左的其它的，以及写$A = C_1[(\lambda z. M) N]$其中$C_1$是这种收缩的上下文和$(\lambda z. M) N$是归约式。令$\tau$为另一个减少量。

由于$\tau$是标准的并且它的第一步在$C_1$孔的右边，因此它不能在$C_1$处收缩，也不能在它的左侧收缩。因此最后期$\tau$的形式为$C_2[(\lambda z. M') N']$，其中的各部分$C_1$和$C_2$向左它们的孔中的是相同的，$M \rightarrow_\beta^* M'$和$N \rightarrow_\beta^* N'$。由于$\sigma$在$C_1$处开始减小，而从左开始不减小，因此其最终项必须为$C_3[S]$形式，其中$C_3$的孔左侧部分与$C_1$和$C_2$的左侧部分相同2，和$M[z \leftarrow N] \rightarrow_\beta^* S$。

$L$$R$$\tau$$\lambda z. M$$L$$R$$\tau$$N$$C_1 = C_2 = C_3 = []$

• $\tau$$R$$M \rightarrow_\beta^* z z$$N \rightarrow_\beta^* b c$$M[z \leftarrow N] \rightarrow_\beta^* (\lambda x. b x (b c)) c$$N$$L$$b c$$N$$N$$\sigma$$\check{N} P$$\check{N}$$N$$L$$b c$$b c$$N$$L$$b c$

• $\tau$$L$$M \rightarrow_\beta^* b z (b c)$$N \rightarrow_\beta^* c$$M[z \leftarrow N] \rightarrow_\beta^* (\lambda x. x x) (b c)$$N$$R$$c$

$N$$M$

$\beta$$x$$v$$(\lambda x.v)\;t_1 \to_\beta v$$(\lambda x.v)\;t_2 \to_\beta v$$t_1$$t_2$$\beta$$t_1$$t_2$$u$$u \to_\beta^\ast t_1$$u \to_\beta^\ast t_2$