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路径归纳是否具有建设性？
我正在阅读HoTT的书，并且很难理解路径归纳法。 当我查看1.12.1节中的类型时： ind=A:∏C:∏x,y:A(x=Ay)→U((∏x:AC(x,x,reflx))→∏x,y:A∏p:x=AyC(x,y,p)),ind=A:∏C:∏x,y:A(x=Ay)→U((∏x:AC(x,x,reflx))→∏x,y:A∏p:x=AyC(x,y,p)),\text{ind}_{=_A}:\prod_{C:\prod\limits_{x,y:A}(x=_Ay)\to \mathcal{U}} \left( \left(\prod_{x:A}C(x,x,\text{refl}_x)\right) \to \prod_{x,y:A}\prod_{p:x=_Ay} C(x,y,p) \right), 对于理解这意味着什么，我没有任何问题（我只是从内存中写出类型，以进行检查）。 下一个问题是我的问题： with the equalityind=A(C,c,x,x,reflx):≡c(x)with the equalityind=A(C,c,x,x,reflx):≡c(x)\text{with the equality}\quad \text{ind}_{=_A}(C,c,x,x,\text{refl}_x):\equiv c(x) 我的第一印象是，这最后一个表达式不限定所得到的函数f:∏x,y:A∏p:x=AyC(x,y,p),f:∏x,y:A∏p:x=AyC(x,y,p),f:\prod_{x,y:A}\prod_{p:x=_Ay} C(x,y,p), 但仅陈述其性质。 这与先前的归纳原理indA×BindA×B\text{ind}_{A\times B}，indA+BindA+B\text{ind}_{A+B}或示例形成对比indNindN\text{ind}_\mathbb{N}- 为这些元素定义了方程式 -我们确实知道在给定前提的情况下如何构造结果函数。这与本章所提到的类型理论的“建设性”是一致的。 回到ind=Aind=A\text{ind}_{=_A}，我对它（未定义）的事实感到怀疑。指出元素fff 刚刚存在似乎与本章的其余部分格格不入。实际上，第1.12.1节似乎强调我的印象是错误的，我们实际上已经定义了 ... 的函数 f:∏x,y:A∏p:x=AyC(x,y,p),f:∏x,y:A∏p:x=AyC(x,y,p),f:\prod_{x,y:A}\prod_{p:x=_Ay} C(x,y,p),由下式定义 从路径感应c:∏x:AC(x,x,reflx)c:∏x:AC(x,x,reflx)c:\prod_{x:A}C(x,x,\text{refl}_x)，而且 满足 ...f(x,x,reflx):≡c(x)f(x,x,reflx):≡c(x)f(x,x,\text{refl}_x):\equiv c(x) 这使我完全困惑，但是我觉得这一点对于所有进一步的发展都非常重要。那么，应该选择的两个读数中的哪个？或者，也许我错过了一些重要的微妙之处，答案是“都不”？ ind=Aind=A\text{ind}_{=_A}