实际分析中的技术在理论计算机科学中是否有任何应用？

对于这类应用程序，我已经四处寻找，而且大多都显得很短。我可以在可数（或不可数）集上找到大量拓扑和类似结构的应用程序，但实际上很少能找到不可数集作为计算机科学家研究的对象，因此导致需要分析技术。

这是两个相关的课程：

• 多伦多大学的Ehud Friedgut 在组合学和CS中的分析方法（2009年），
• 希伯来大学的Irit Dinur和Ehud Friedgut（2006年），《组合科学和计算机科学中的分析方法》。

还要检查Ryan O'Donnell的笔记，以了解他的书：

• Ryan O'Donnell 分析布尔函数。

以及右上角的链接。

参见Graham，Knuth和Patashnik 撰写的《具体数学-计算机科学基础》一书。在第9章中，他们解释了Euler-Maclaurin求和公式。这是一种允许您通过使用积分来近似有限和的技术。在第466页的同一章中，他们使用这种技术来近似谐波次数（在TCS的多个区域中出现的次数很多）。在我不得不使用它的时候发生了一次，最后用微分方程的渐近逼近技术求解了一个积分！

Lovasz和B. Szegedy提出了稠密图序列极限的理论。它对图形上的某些属性测试问题有影响。参见http://www.cs.elte.hu/~lovasz/hom-stoc.pdf。基本上，他们的想法是在图上定义合适的度量，并采用图序列极限的概念，然后，如果将图与编辑距离的映射关系映射到该属性的函数是连续的，则它们表明图属性是可测试的。图上已定义的度量空间。

然后当然还有Flajolet和Sedgewick的巨著，专门致力于使用分析方法对组合结构进行渐近分析，包括算法分析。这主要是依靠复杂的分析生成功能技巧

正如Shir所述，Jensen的不平等现象一直存在。特别是在证明组合问题的范围时。例如，考虑以下问题：

给定的家庭的子集的V = { 1 ，... ，Ñ }，其交点曲线图G ^ = （V ，ê ）由下式定义{ 我，Ĵ } ∈ Ë当且仅当小号我 ∩ 小号Ĵ ≠ ∅。假设平均集合大小为r，而成对相交的平均大小最多为k。显示$S_1, \ldots, S_n$$V = \{1, \ldots, n\}$$G = (V, E)$$\{i, j\} \in E$$S_i \cap S_j \neq \emptyset$$r$$|E| \geq \frac{n}{k} \cdot \binom{r}{2}$。

证明：

让我们计算对这样和。让我们首先修复，我们看到最多有这样的选择。同样，取所有值，我们有一个上限。现在，我们修复x。，每个都有种选择方式。根据詹森的不等式，我们有：X ∈ V X ∈ 小号我 ∩ 小号Ĵ（š 我，小号Ĵ）ķ （š 我，小号Ĵ）ķ ⋅ （$(x, (S_i, S_j))$$x \in V$$x \in S_i \cap S_j$$(S_i, S_j)$$k$$(S_i, S_j)$x（ d（x$k \cdot \binom{n}{2} = k \cdot |E|$$x$（Si，Sj$\binom{d(x)}{2}$$(S_i, S_j)$

$n \cdot \binom{r}{2} = n \cdot \binom{\frac{1}{n}\sum_x d(x)}{2} \leq \sum_x \binom{d(x)}{2} \leq k \cdot |E|$。

最后，我们将术语组合为。$\frac{n}{k} \cdot \binom{r}{2} \leq |E|$

尽管这比CS更具“数学性”，但它可以显示出凸函数的工具是如何使用的，尤其是在组合优化中。

Andrej Bauer和Paul Taylor 用Dedekind Reals进行有效的计算怎么样？

解决离散数学中的问题时，一种非常常见且经常有用的技术是将其嵌入连续域中，因为这样可以使用更多的数学工具。因此，请纠正我的回答：除了真正的分析会自然出现的领域（图形，信号处理以及其他与物理世界互动或与之互动的领域）以外，它基本上会出现在所有地方，而在没有的地方出现-我的猜猜将来会怎样。

一些简单的例子：

1. 错误更正代码：里德所罗门代码使用多项式。代码上的某些界限涉及将代码的指示符函数视为从离散立方体到实数的函数，因此应用了傅里叶变换和其他技术。
2. 概率方法-测量浓度定理（一种分析工具）用于显示随机图的各种属性（例如色数）。参见阿隆和斯宾塞的书。

3. 相交定理（与组合算子更相关，但无论如何）-具有个顶点和边的图至少具有交集。证明涉及拍摄随机图，并通过推导来优化参数。ë $v$$e$$\frac {1}{61} \cdot \frac {e^3} {v^2}$

4. Shamir的秘密共享使用非零度数多项式由个点唯一定义的事实（它依赖于个点实际上提供零信息的事实）。k k − $k-1$$k$$k-1$

如果我没有记错的话，诺加·阿隆（Noga Alon）关于分裂项链的定理使用的是问题的连续形式。

参见：http : //www.cs.tau.ac.il/~nogaa/PDFS/nocon.pdf

此处的Wiki页面中也提到了这一点：http : //en.wikipedia.org/wiki/Hobby%E2%80%93Rice_theorem

资源限制度量的领域将Lebesgue度量应用于复杂度类。这个想法是通过谈论这些集合的相对“大小”来获得复杂度类之间的分离。

有一篇漂亮的论文，Boaz Klartag和Oded Regev撰写的《量子单向通信比经典通信要强大得多》，它使用了大量来自真实分析的技术，这些技术在TCS中并不常见，包括Radon变换，球谐和超收缩（非离散）单位球面上的不等式

Haken，Cook （1997）的单调实数电路大小的指数下界

我总是发现常规/无上下文语言与功能理论（（形式）幂级数）之间的联系非常令人振奋：这就是为什么法语将这些语言类称为“理性”和“代数”。这也表明与分形几何的连接。同样，例如，有限自动机可能会在配备标准度量拓扑时具有良好拓扑特性的无限词上定义语言。

另一个联系可能是最近开发的“集卷积”理论，该理论可以加快几种算法的速度，类似于从傅立叶变换中已知的算法。我认为这些至少是“灵感上的相似之处”。