TCS前沿领域的未解决问题

在线程中理论计算机科学中主要未解决的问题？，Iddo Tzameret做出了以下出色评论：

我认为我们应该区分被视为基本问题的主要开放问题（例如）和将构成技术突破的重大开放问题（如果得到解决），但不一定是基本问题，例如指数下限电路（即门）。因此，我们可能应该打开一个新的社区Wiki，标题为“ TCS边界中的开放问题”等。$P\neq NP$$AC^0(6)$$AC^0+\mod 6$

由于Iddo没有启动线程，因此我想我将启动该线程。

领域的主要开放问题通常是相关领域的研究人员所知道的，但是目前的研究停留在什么地方对外界来说却是未知的。引用的示例是一个很好的例子。作为局外人，很明显，电路复杂性的最大问题之一就是证明NP需要超多项式大小的电路。但是局外人可能不知道，我们所处的当前点正试图证明具有Mod 6门的AC ⁰电路的指数下限。（当然，可能存在其他类似难度的电路复杂性问题，这些问题将描述我们被困在哪里。这不是唯一的。）另一个示例是，显示SAT的时空下界比n ^1.801更好。

这个线程就是这样的例子。由于很难描述此类问题，因此，我仅举一些此类问题具有的属性的示例：

1. 通常，这不是该领域的大难题，但如果解决，将是一个重大突破。
2. 通常，这并不是很难想象的，从某种意义上来说，如果有人告诉您问题已于昨天解决，那么相信这一点就不会太难了。
3. 这些问题通常还会具有不是基本的数字或常数，但它们之所以出现，是因为这恰好是我们所困的地方。
4. 与该领域最大的问题相反，该领域的最大问题将持续很多年，而特定领域的前沿问题将不时变化。
5. 这些问题通常是最容易解决的问题。例如，我们也没有AC ^1的指数下界，但是由于 [6]包含在该类中，因此形式上更容易显示 [6]的下界，因此当前电路复杂性的前沿。 A C $AC^0$$AC^0$

请为每个答案发布一个示例；标准的大名单和CW约定适用。如果有人可以比我更好地解释我们正在寻找什么类型的问题，请随时编辑此帖子并进行适当的更改。

编辑：卡夫（Kaveh）建议，答案还应包括为何给定问题处于前沿的解释。例如，为什么我们要针对AC ⁰ [6]而不是AC ⁰ [3] 寻找下限？答案是我们确实有针对AC ^0的下限[3]。但是，显而易见的问题是，为什么这些方法对于AC ⁰失败了[6]。如果答案也能解释这一点，那就太好了。

以下是最短路径研究中的三个：

O （n + m log w ）2 $1$。至少在word-RAM计算模型中，是否有针对非负有向图中单源最短路径的线性时间算法？请注意，对于无向图，存在线性时间算法（请参阅Thorup的论文）。基于此，Hagerup 对于权重为有向图，其运行时间为。有更快的算法吗？$O(n+m\log w)$$2^w$

ø （Ñ ω Ñ ）ω < 2.376 ø （Ñ 2.575）ø （Ñ ω Ñ $2$。是否有 polylog算法用于未加权有向图中的所有对最短路径？（是矩阵乘法的指数）当前最佳运行时是Zwick的，对于无向图，可以在 polylog解决问题。$O(n^\omega$$n)$$\omega<2.376$$O(n^{2.575})$$O(n^\omega$$n)$

（定向问题真的难吗？）

O （n 2.9）n 0 ，… ，$3$。对于权重为{ }的节点图中的所有对最短路径，是否有算法？还是从一般的全对最短路径问题减少到此限制？$O(n^{2.9})$$n$$0,\ldots,n$

问题中已经提到了这一点：

打开：

将与（深度为2的电路）分开。 A C 0 2 [ 6 ] A C 0 [ 6 $EXP^{NP}$$AC^0_2[6]$$AC^0[6]$（请参阅下面的更新）

[11月。2010年11月11日]，将与分开。将与分开。A C 0 2 [ 6 ] E X P N P T C $EXP$$AC^0_2[6]$$EXP^{NP}$$TC^0$

已知：

1. [Alexander Razborov 1987-Roman Smolensky 1987] 如果是素数且不是的幂，则不在。 A C 0 [ p k ] p m $MOD_m$$AC^0[p^k]$$p$$m$$p$

2. [Arkadev Chattopadhyay和Avi Wigderson，2009年]令m，q为互质数整数，使得m是无平方的，并且最多具有两个质数因子。令C为类型的任何电路，其中为门或门，而位于基极的门具有任意接受集。如果C计算则顶部扇入，因此电路大小必须为。 ģ 甲Ñ d ö ř 中号ö d 米中号ö d q 2 Ω （Ñ $MAJoGoMOD^A_m$$G$$AND$$OR$$MOD_m$$MOD_q$$2^{{\Omega(n)}}$

后面的结果是基于获得具有深度2子电路的函数的指数小相关范围，并估计涉及低次多项式的指数和。$MOD_q$

障碍：

更新[11月。2010年10月]

瑞安·威廉姆斯（Ryan Williams）的论文似乎已经使用似乎与上述方法本质上不同的方法解决了这个开放性问题：

[Ryan Williams 2010]没有大小为非均匀电路。 A C C 0 2 n o （1 $E^{NP}$$ACC^0$$2^{n^{o(1)}}$

参考文献：

• AA Razborov。带有逻辑加法（俄语）的完整深度边界网络深度的下限，见Matematicheskie Zametki，41（4）：598-607，1987。苏联科学院数学注释的英文翻译，41 （4）：333-338，1987年。

• 斯摩棱斯基。布尔电路复杂度下界理论中的代数方法。在STOC中，第77-82页。ACM，1987年。

• Arkadev Chattopadhyay和Avi Wigderson。复合模量上的线性系统，FOCS 2009

• 瑞安·威廉姆斯。非均匀ACC电路下限，2010年，草稿（已提交？）。

让CNF-SAT是确定给定CNF公式是否可满足的问题（对子句的宽度没有限制）。

对于变量和子句，CNF-SAT是否可以在时间内解决？米2 δ Ñ p ø 升ý （米）δ < $n$$m$$2^{\delta n} poly(m)$$\delta < 1$

在“更快的NP算法”领域，这是一个众所周知的开放问题。我认为它没有达到“重大开放性问题”的地位，但引起了相当多的关注。最著名的算法在时间（例如，此处）中运行。$2^{n-\Omega(n/\log (m/n))}$

与指数时间假说（3SAT不在次指数时间中）相关，还有一个“强指数时间假说”，即 -SAT 的最优运行时间收敛为即。Strong-ETH的一个结果是，上述问题的答案是否定的。有几个合理的假设暗示答案是肯定的，但谁知道。2 n k → $k$$2^{n}$$k \rightarrow \infty$

我认为这是似乎可以通过以下任何一种方式“解决”的问题之一：要么我们显示“是”答案，要么我们将显示“是”答案暗示非常重要的事情。在第一种情况下，我们将满意地解决问题，在第二种情况下，我们将问题提升为“重大开放性问题”……无答案意味着，并且是的答案意味着非常重要的事情。:)$P \neq NP$

决策树是否可以学习PAC的问题似乎在计算学习理论的前沿。

打开

在示例（或一般而言）的均匀分布下，决策树（DT）PAC是否可学习？

知道的

• DT在统计查询（SQs）的统一分布下是无法学习的[ Blum等。'94 ]
• 在均匀分布下随机DT是可学习的[ Jackson，Servedio '05 ]
• 单调DT可以在均匀分布下学习[ O'Donnell，Servedio '06 ]
• 均匀分布下学习DT的平滑分析[ Kalai，Teng '08 ]

之所以是一个有趣且重要的问题，是因为决策树是非常自然的一类，并且与自动机不同，我们没有使问题变得无望的加密硬度结果。在没有分配假设的情况下，有关此问题的进展也许可以使您深入了解DT（以及类似的类）是否可以学习。除了在理论上取得突破以外，这可能还会产生实际影响。

这个问题似乎也已经得到了各方的解决。我们知道在示例的均匀分布下：单调决策树是可学习的，随机决策树是可学习的，并且还存在平滑的分析。我们还知道，SQ算法无法解决此问题。在这方面也有稳定的进展。另一方面，这是一个已经开放了一段时间的难题，因此这似乎符合“ TCS边界上的开放问题”的要求。

请注意，在适当学习 DT的难度，使用查询学习DT的能力以及使用SQ 甚至学习随机DT的硬度方面，我没有其他结果。

打开：

在单元探针模型中显示一个显式静态数据结构问题的下界，这证明在某些“合理”空间限制（例如，空间是输入大小的多项式）下，则查询时间必须为至少T，其中T大于log | Q |，其中Q是查询集。这称为“ log | Q | -barrier”（或有时以某种有点误称的方式称为“ logn-barrier”）。

知道：

1. 下限高于log | Q | 解决隐性问题（请参阅Miltersen的调查）

2. 下限高于log | Q | 具有严格的空间限制（例如，简洁的下限）

3. 下限高于log | Q | 对于动态问题（我的意思是，如果更新时间非常短，那么查询时间必须非常大，反之亦然；请参见例如Patrascu的部分和的下限）

4. 受限模型的下限，例如指针机，比较模型等

5. 打破log | Q |的下界 无法通过标准的通信复杂度降低来证明障碍，因为Alice可以发送查询本身，而查询只需要log | Q |。位，因此很容易验证减少将永远不会提供比此更好的下限。因此，必须使用与单元探针模型绑定的“本机”，或者必须使用一些更巧妙的降低通信复杂性的方法。

在低级复杂度类中，关于的表征存在一个有趣的问题 。$\mathsf{NL}$

打开：

证明是否等于。ù $\mathsf{NL}$$\mathsf{UL}$

Ñ $\mathsf{UL}$（明确的日志空间）是由 -机器可以解决的问题组成，并具有额外的约束，即最多只有一个接受计算路径。$\mathsf{NL}$

知道：

• 在非均匀情况下，。[RA00]$\mathsf{NL/poly} = \mathsf{UL/poly}$
• 在合理的硬度假设下（需要指数大小的回路），可以对[RA00]的结果进行随机化，以表明。[ARZ99]N L = U $\mathsf{SPACE}(n)$$\mathsf{NL} = \mathsf{UL}$
• 可达 3页的图表是完整的。[PTV10]$\mathsf{NL}$
• 可达 2页的图表是可解为。[BTV09]$\mathsf{UL}$
• 如果，则。[AJ93]$\mathsf{NL} = \mathsf{UL}$$\mathsf{FNL} \subseteq \mathsf{\sharp L}$

未知：

• 和之间的中间类被定义为可由 -机器解决的问题，该机器最多具有许多个可接受的计算路径。没有崩溃是已知的。$\mathsf{FewL}$$\mathsf{NL}$$\mathsf{NL}$$\mathsf{UL}$
• 由著名的Immerman-Szelepcsényi定理已知，而是否根据补码闭合仍是未知的。$\mathsf{NL} = \mathsf{coNL}$$\mathsf{UL}$

一些PCP未解决的问题：

• 滑尺猜想。在PCP中，我们希望验证器的误差尽可能小。BGLR推测误差可以一直到，其中是随机性（显然存在下界）。您为减少错误所付出的代价只是适当地增加了字母。$2^{-\Theta(r)}$$r$$2^{-r}$

更正式地说：猜想是存在ac，使得对于所有自然r，对于所有，存在一个PCP验证程序，该验证程序使用r随机性对其证明进行两次查询，具有理想的完整性和健全性错误。证明的字母仅取决于。$\varepsilon \geq 2^{-cr}$$\varepsilon$$1/\varepsilon$

对于两个查询，对于某些特定的，最著名的错误是（M-Raz，2008年）。对于任何，也可以实现错误，其查询数量取决于（DFKRS）。$1/r^{\beta}$$\beta>0$$2^{-r^{\alpha}}$$\alpha <1$$\alpha$

还要求c的下界（即近似算法）。

有关更多详细信息，请参见Irit Dinur的调查。

• 线性长度PCP。存在具有线性长度的高距离纠错码。是否有线性长度的PCP？

具体来说，我们想要一个可满足SAT公式可满足性的验证器，该查询具有恒定的查询次数，恒定的字母和恒定的错误，并能访问长度与公式长度成线性关系的证明？即使错误接近1（但比平凡的更好），次指数字母和次线性查询数，也可以打开。$1-1/n$

对于常数误差，最知名的长度是对于次常数误差，。$n polylog n$$n \cdot 2^{(log n)^{1-\beta}}$

证明对于每个，中存在一种语言，该语言不具有带有导线的（非均匀）电路。回想一下。即，通过访问 oracle ，证明指数时间的超线性电路下界。$c > 0$$E^{NP}$$c n$$E = \bigcup_{k \geq 1} TIME[2^{k n}]$$NP$

一个本地可解码代码（LDC）是映射这样就存在一种算法，称为本地解码器，其中，作为输入的整数和一个接收的字从不同一些上至多位置的分数，最多查找坐标，并以至少概率输出。如果则LDC被认为是线性的$(q,\delta,\epsilon)$$C: \mathbb{F}^m \to \mathbb{F}^n$$A$$i \in [m]$$y \in \mathbb{F}^n$$C(x)$$x \in \mathbb{F}^m$$\delta$$q$$y$$x_i$$1/|\mathbb{F}| + \epsilon$$\mathbb{F}$是一个字段，是 -linear。LDC在复杂性理论和隐私等方面有许多应用。$C$$\mathbb{F}$

对于和常数，情况已完全解决。Hadamard代码是的线性查询LDC ，即使对于非线性LDC来说，这也基本上是最佳的。但是在这里，是前沿！当我们使，已知的上限和下限之间就会有巨大的差距。当前的最佳上限是在查询范围为任何有限域（甚至实数和复数）上的线性查询LDC [ Efremenko '09，Dvir-Gopalan-Yekhanin '10 ]。最好的下界是$q=2$$\delta,\epsilon$$2$$n = \exp(m)$$q=2$$q=3$$3$$n=\exp(\exp(\sqrt{\log m \log \log m})) = 2^{m^{o(1)}}$$\Omega(m^2)$用于线性查询LDC在任何字段上，用于常规查询LDC [ Woodruff '10 ]。大量查询的情况更加严峻。$3$$\Omega(m^2/\log m)$$3$

总功能的确定性和（两面有限误差）量子查询复杂度之间最大的差距是什么？

打开：

是否存在一个总函数，其量子查询复杂度为T，确定性查询复杂度为ω（T ²）？

是否存在量子查询复杂度为T且确定性查询复杂度为ω（T ⁴）的总函数？

如果一个总函数可以用一个量子算法用T个查询来计算，那么是否总可以通过确定性算法用查询来计算呢？$o(T^6)$

已知：

如果总函数的量子查询复杂度为T，则其确定性查询复杂度为。（参考）$O(T^6)$

已知的最大间隙是通过“或”功能实现的，该功能实现了二次间隙。

更新（2015年6月21日）：我们现在知道一个实现四次（4次方）分离的函数。参见http://arxiv.org/abs/1506.04719。

据推测，或功能达到了最大可能的差距。

根据Ashley的建议，我为精确计算添加了相同的问题。

打开：

是否存在一个总函数，其确切的量子查询复杂度为T，确定性查询复杂度为？$\omega(T)$

已知：

如果总函数的确切量子查询复杂度为T，则其确定性查询复杂度为。（参考）$O(T^3)$

最著名的差距是2倍。

更新（2012年11月5日）：安德里斯·安拜尼斯（Andris Ambainis）针对精确量子算法在超线性优势方面进行了改进。摘自摘要：“我们给出布尔函数f（x_1，...，x_N）的第一个示例，对于该布尔函数，精确的量子算法比确定性算法具有超线性优势。任何计算我们函数的确定性算法都必须使用N个查询，但精确的量子算法可以通过O（N ^ {0.8675 ...}）个查询来计算它。”

在证明复杂性方面存在许多未解决的问题，我将仅提及一个问题，即使某些专家花了多年的时间来解决这个问题后，问题仍然存在。它是电路复杂度状态的证明复杂度版本。（如果您想在证明复杂性方面看到更多未解决的问题，请参见[Segerlind07]。）

打开

证明系统 -Frege的证明超多项式证明大小下界。$AC^0[2]$

$AC^0[2]$ -Frege（又名d-Frege +）是一种命题证明系统，仅允许（带有门的）电路。$CG_2$$AC^0[2]$$AC^0$$\bmod 2$

已知的

1. 对于 -Frege（又称恒定深度弗雷格，d-Frege），对于（有羽鸽子和孔）。对于 -Frege +（计数公理的恒定深度Frege），也存在指数下界。还已知 -Frege +不是多项式有界的。$AC^0$$PHP^{n+1}_{n}$$n+1$$n$$AC^0$$CA_p$$\bmod p$$AC^0$$CA_m$

2. 对于相应的电路类别，即存在指数电路尺寸的下限。$AC^0[2]$

参考文献：

• 内森·塞格林德（Nathan Segerlind），“命题证明的复杂性”，《符号逻辑公报》 13（4），2007年

打开：

显示QIP（2）和AM之间的预言分隔。也就是说，在QIP（2）^A中显示出AM ^A中没有^的问题。

最大的开放问题是显示BQP和PH之间的预言分离。但是我们甚至在BQP和AM之间没有分隔（因为AM在PH中，所以应该更容易）。更糟糕的是，允许与Merlin进行1轮交互，使BQP更加强大，为您提供QAM或QIP（2）类（取决于公共硬币或私人硬币），而我们仍然没有分隔。

已知：

最著名的分离是BQP与MA之间的分离，该分离来自John Watrous的这篇论文。对于不是决策问题类的复杂性类，请参见Scott Aaronson的这些结果。

我不确定这是属于边疆开放性问题还是重大开放性问题，因此欢迎提出评论。

打开：

证明暗示崩溃。P $\mathsf{NP} = \mathsf{UP}$$\mathsf{PH}$

$\mathsf{UP}$（明确的多项式时间）是一类，定义为由NP机器决定的决策问题，并具有以下附加约束：

• 任何输入上最多有一个接受计算路径。

这个问题已在2003年的复杂性博客中提到。

已知：

一个结果是由Hemaspaandra，奈克，荻原和塞尔曼表明，如果下面的语句成立，则多项式层级折叠至第二级。

• 有一个语言使得对于每个式在SAT，有一个独特的令人满意的分配与在。 L ϕ x （ϕ ，x ）$\mathsf{NP}$$L$$\phi$$x$$(\phi,x)$$L$

未知：

任何不太可能的崩溃或分离。

相关文章：有关语法类和语义类以及UP和NP的更多信息。