最简单的无争议两态通用图灵机是什么？

我想在纸牌游戏规则中编码一个简单的图灵机。我想使它成为通用的图灵机，以证明图灵的完整性。

到目前为止，我已经创建了一个游戏状态，该状态对Alex Smith的2状态，3符号图灵机进行了编码。但是，似乎（基于维基百科）似乎对（2，3）机器是否真正通用存在一些争议。

为了严格起见，我希望我的证明具有“无争议”的UTM。所以我的问题是：

1. （2,3）机器通常被认为是通用的，非通用的或有争议的吗？我不知道在哪里可以找到理想的答案。

2. 如果（2,3）机器没有被普遍接受为通用，那么最小的N是多少，使得（2，N）机器毫无争议地被接受为通用？

编辑添加：了解碰到的机器对无限磁带的任何要求也很有用。看来（2,3）机器要求的磁带初始状态是非周期性的，这在纸牌游戏规则中很难模拟。

自从先前的答案中引用的工作以来，已经有了一些新的结果。该调查 描述了最新技术（请参见图1）。已知最小的通用图灵机的尺寸取决于模型的细节，以下是与该讨论相关的两个结果：

• 有一个2状态的18符号标准通用机器（Rogozhin 1996. TCS，168（2）：215–240）。在这里，我们通常在单个磁带的一个或两个方向上具有空白符号的概念。
• $r$$l$

听起来（2,18）对您来说最有用。

$M$$w$$t$$M$$w$$t$

该图显示了已知的最小通用机器，适用于各种图灵机模型（摘自Neary，Woods SOFSEM 2012），可以在此处找到参考资料。

这不是您问题的真正答案（我对（2,3）机器辩论了解不多）；但我建议您使用论文“ 小型图灵机和广义繁忙的海狸竞赛 ”。不久前，我很快就读了它，它的图表很好，其中包含了4种小型TM的边界：

• 可决定的
• 开放式类似Collat​​z的问题
• $3x + 1$
• 普遍

（也许某些结果已得到改善）。

本文中使用的TM概念是小型通用图灵机上论文中使用的TM 的标准定义：

...它们具有在两个方向上无限的独特的一维磁带和独特的双向读写头。有一个用0表示的空白符号。最初，将一个有限的字（输入）写在磁带上，其他单元格包含空白符号，磁头读取输入的最左边的符号，并且状态为初始状态。在每个步骤中，根据机器的当前状态和磁头读取的符号，对符号进行修改，磁头向左或向右移动（不能保持读取同一单元格），并修改状态。达到特殊暂停状态时，计算将停止。...

尽管有许多相同的反对意见（无限磁带上的初始条件不一致，终止条件也很不一样），但也有可能通过7个状态和2个符号实现通用性。参见http://11011110.livejournal.com/104656.html和http://www.complex-systems.com/abstracts/v15_i01_a01.html

这些是基于模拟规则110的细胞自动机（已由Matthew Cook证明是通用的），而且如果您受限于只有两个状态的限制，那么Cook还发现了规则110的2状态5符号模拟。

$S$$0\leq s < S$$C$$0\leq c< C$$2$$\text{L}$$\text{R}$$C+4SC$

在任何时候，只有当前单元格或过渡中涉及的两个单元格可能具有增强的颜色：所有其他单元格都具有其真实颜色。我们希望我们的机器表现如下：检查要执行的真正转换，将我们要保留的单元中的“真实状态”信息移至目标单元（这涉及很多来回操作），清理重复我们留下的单元格（赋予它真实的颜色）。

$(c,s)$$\text{L}$$\text{R}$$(c_{\text{new}}, s_{\text{new}}, \text{emit})$$\text{L}$

$c$$\text{L}$$c$$(c,0, \text{L},\text{receive})$$\text{R}$

这是实现该目标的过渡。在几乎所有情况下，请沿当前状态指定的方向移动，然后翻转状态

1. $c \to (c,0,\langle dir\rangle,\text{receive})$$\langle dir\rangle$

2. $(c,s) \to (c_{\text{new}},s_{\text{new}},\text{emit})$

3. $(c,s,\text{emit}) \to (c,s-1,\text{emit})$$s>0$

4. $(c,0,\text{emit}) \to c$

5. $(c,s, \langle dir\rangle, \text{receive}) \to (c, s+1, \langle dir\rangle, \text{receive})$$\langle dir\rangle$

6. $(c,s, \langle dir\rangle, \text{receive}) \to (c,s)$$\langle dir\rangle$

$C+3SC$

除非您以某种技术方式仔细定义“无争议”，否则就没有确切的答案。这是另一台基于规则110的小型机器，在某种意义上被证明是通用的，但我的理解是，它需要无限的周期性输入带配方（并且同样在机器停止运行时最终提取）。尚未见过文献中描述的“定期与非定期”磁带问题，尽管在例如数学邮件列表中进行了讨论[数学邮件列表的基础]

亚历克斯·史密斯（Alex Smith）对沃尔夫拉姆（Wolfram）猜想的2状态，3符号的图灵机的图灵大学证明绝对没有争议。给定的通用性证明（不是机器）需要在Turing磁带上使用无限模式，问题是是否应该允许这种配置（您也可以将通常的“空白”磁带视为空白符号的无限重复模式）。结论是，只要机器磁带上的配置是固定的（即，在您的计算开始后它不会改变，并且对于任何计算都保持不变），那么通用计算将由Turing机器执行。请注意，对于Wolfram和Cook证明是通用的Wolfram基本单元自动机规则110，这没有争议。规则110的通用性证明还要求在初始配置上具有无限模式，该模式在两侧均不同，因此对于2状态3符号图灵机具有相同的性质。另一个担心是，这样放松初始条件（空白）要求可能会使某些公认的非图灵通用自动机成为通用，例如有限状态，线性有界或下推自动机以提及一些示例，但事实并非如此。尊重乔姆斯基体系。因此，绝对没有争议的是2状态，3符号的图灵机是否通用，但是其通用性证明确实需要对通常被视为常规图灵机磁带的内容进行变更。顺便说一下，这并不直接暗示2状态