算法向量问题

我在GF（2）域中有一个与向量有关的代数问题。令$v_1, v_2, \ldots, v_m$为维度（0,1）-向量$n$，并且$m=n^{O(1)}$。查找一个多项式时间算法，该算法可以找到维数相同的（0,1）-向量$u$，使得$u$不是v 1，v 2，… ，v中的任何$(\log n)^{O(1)}$向量的和。$v_1,v_2, \ldots, v_m$。向量的添加是在字段GF（2）上，该字段具有两个元素0和1（$0+1=0+1=1$和$0+0=1+1=0$）。

通过简单的计数参数很容易看到这样的向量u的存在。我们可以在多项式时间内找到$u$吗？在指数时间内找到是微不足道的$u$。对于第一个正确的解决方案，我将发送200美元的支票奖励。

似乎有错字；我假设您的意思是找到，它不是（不是）之间的向量之和。$u \in \{0,1\}^n$$(\log n)^{O(1)}$$v_1,\dots, v_m$$n$

我不清楚任何常量是否对您有用。如果您可以满足小于向量的总和，则可能需要执行一些操作。但是，如果您希望此数量为，那么我认为这相当困难（我已经在这个问题上研究了很长时间了）。$(\log n)^{O(1)}$$\log m$$(\log m)^{1+\delta}$

您可能仍想知道，这是某些参数的Alon，Panighrahy和Yekhanin的远程点问题（“最近码字问题的确定性近似算法”）的一个实例。令且为维度为中线性代码的奇偶校验矩阵的列（如果此矩阵不具有完整等级） ，问题将变得微不足道了。那么，您的问题等同于中找到 -远离代码。在本文中未研究尺寸非常接近m的这种参数设置。但是，他们只能达到远程$m > n$$v_1,\dots,v_m$$\{0,1\}^m$$d = m - n$$u \in \{0,1\}^n$$(\log n)^{O(1)}$$\log m$对于某些常数直到尺寸。实际上，我认为我们不知道有任何多项式大小的证书可以让我们证明某些向量大于 -远离维的空间，更不用说找到它。$d = cm$$c$$\omega(\log m)$$\Omega(m)$

另一个联系是与错误绑定模型中的学习奇偶性有关。如果可以有效地学习奇偶校验（在上定义），并且错误界限严格小于，则可以将任意值设置为前通过将的位设置为与学习者预测的值相反的值来对最后一位``施加错误''。不过，这似乎要强得多。$(\log n)^{O(1)}$${0,1}^m$$n$$n - 1$$u$

问题还与将EXP从某些归约集简化为稀疏集有关。