在TCS中获得漂亮的结果

最近，我的一个朋友（在TCS中工作）在一次对话中提到“他希望一生中看到/知道所有（或尽可能多）TCS的美丽结果”。这种让我想知道这个领域的漂亮成果，以及以下问题的动机：

您认为哪些结果（或构想）在理论计算机科学中很漂亮？如果您也提到原因，那将是很棒的。[即使这些思想起源于数学，但引起了人们的兴趣并在TCS中找到了用途，也将很好。

我将以Cantor的对角线参数作为答案，因为它简单，优雅，但结果却非常有力。

暂停问题的不确定性。

美丽的原因很多。这是不可能的结果。证明使用对角线化。该声明适用于广泛的计算模型。可以通过多种方式来制定它，尤其是使用标准编程语言。这是计算历史上的分水岭。扩展此陈述可得出莱斯定理，图灵度和许多其他不错的结果。等等等等

在我看来，Curry-Howard对应关系是最美丽的理论结果之一，也是驱使我进行研究的结果。

一方面是两个程序，另一方面是证明的两个系统具有完全相同的结构，这种想法几乎具有哲学性质：是否存在一些通用的“推理模式”？

公开密钥加密的可能性，例如Diffie-Hellman密钥交换方案。

这打破了人们在不安全的渠道上交换秘密之前必须见面的强烈观念。

我曾经并且仍然对Euclid的算法感到惊讶。对我来说，这证明了人类思维的力量- 人们可以这么早就构想出这种算法（如果我相信我的记忆，大约在公元前300年）。

快进，关于这个问题有令人麻木的文献。我认为，斯科特·亚伦森（Scott Aaronson）的清单在这方面应该有所帮助-不过，正如亚伦森本人所说，清单并不完整（也不完全是理论上的）

Yao的技术使用von Neumann的Minmax定理证明随机算法的下界。我觉得这是世界之外的东西。

证明存在的物体的概率方法，我们发现其中包括Lovasz Local Lemma很难构造。这些技术非常简单，但是功能强大。

Madhu Sudan的使用多项式的编码理论构造。

扩展器（以Ramanujan图开始）和提取器及其在伪随机性中的应用。

Cooley和Tukey的快速傅立叶变换算法可以找到DFT。（不过，正如Tukey假设的那样，这是对一种众所周知的技术的重新发现，至少是高斯所知！）

巴灵顿定理，（当时令人惊讶的结果）

平行重复定理（尽管结果很好，证明并不容易）

Lovasz Theta函数可估计图的香农容量。

显示LP在P中的椭球算法，在许多人仍然怀疑它可能是NP-Complete时使许多人感到惊讶。

令人惊讶的是，尚未添加的最明显答案之一。有时，某人对某件事进行过多工作以至于不能公正地看待它。该NP完全由库克/莱推出的理论，并立即卡普放大谁给它的无所不在的早期迹象，甚至回想起来更加有先见之明。从许多方面来看，这是现代TCS和复杂性理论的诞生，其核心/关键/臭名昭著的问题P =？NP在经过40年的深入研究/攻击后仍未解决。P =？NP因其解决方案获得了100万美元的Claymath奖。

Cook的证明介绍了NDTM，这显然不是纯粹出于理论上的好奇，而是几乎是TCS的最基本部分。可以说发射了1000艘船 此外，它通过列表中提到的另一种关键/强大的TCS技术（对角化）不断抵抗/抗拒努力，例如在BGS-75 Oracle /相对化结果中看到的-暗示任何可能的事物都必须具有异国情调和与众不同Razborov-Rudich Natural Proofs论文（2007年Godel奖）进一步建议/扩展了该解决方案。

主题上有很多参考文献，但最近的一部有关历史的第一手资料可以在RJ Lipton 撰写的《 P =？NP问题》和《哥德尔的失落信》中找到。

Kolmogorov复杂度和不可压方法。

基于Kolmogorov复杂度的不可压缩方法提供了一种新的直观证明方式。在使用不可压缩性方法的典型证明中，首先要从正在讨论的类中选择不可压缩的对象。该论点总是说，如果不具备所需的属性，则与假设相反，可以压缩对象，从而产生所需的矛盾。

例如，查看存在无限数量的素数的证明，戈德尔不完备性定理的替代证明或Kolmogorov复杂度和计算复杂度 ... 之间的联系。

克莱因的第二递归定理使我（现在仍然感到惊讶）。从表面上看，它似乎很简单，但不是很有用，但后来我发现它在数学和哲学上都很深刻。

当我还阅读了在Turing Machines上经过验证的变体时（非常非常非正式地指出，机器可以获取自己的描述，或者等效地，有些机器可以输出自己的描述，例如可自行打印的程序。），我感到我的大脑在扭曲如此艰辛，却从未像现在这样有趣。然后，您将看到该定理如何用于为停顿问题的不确定性和最小机器的不可识别性等提供一线证明。

香农的源和信道编码定理。

区分发送者，接收者和媒介并忽略消息语义的数学定义是一大进步。在数据的上下文中，熵是一个非常有用的概念。而且因为信息理论应该被更好地了解。

一个基于PCP定理的漂亮结果表明，即使对于可满足的3SAT公式，也很难满足3SAT公式中超过7/8的子句的计算（NP-hard）。

在BQP中分解的shors算法。在我看来/在1994年，量子计算只是一个理论上的好奇，直到这一结果出现时，似乎有关QM计算的文献和研究兴趣才激增。它仍然可以说是已知的最重要的QM算法之一。荣获1999年哥德尔奖。它也表明，在某种意义上，与传统计算相比，QM计算中的分解实际上在某种程度上要更好地理解，例如，关于分解是否为NP完全的问题仍然存在。

在我看来，AKS P时间原始性测试在各种意义上都非常漂亮。这是当时的突破，这是我们一生中在复杂性理论中看到的重大但很少见的突破之一。它解决了可追溯到希腊古代的问题，并且与某些最早发明的算法（eratosthenes的筛子）有关，即有效地识别素数。它是一种构造性的证明，即素数检测在P中与许多不幸的非建设性的证明相反。

它与另一个答案中提到的RSA密码算法互连，因为该算法需要快速找到大素数，而在AKS算法之前，这仅是概率上的。它从根本上与数论和其他深层问题相关，例如黎曼猜想，它在许多方面都是算法学的原始领域。

荣获2006年哥德尔奖和2006年富尔克森奖

我认为Robertson和Seymour提出的图次要定理是我见过（并部分阅读过）的最奇妙的理论。首先，它是安静而复杂的，但是基本的猜想并不难，可能是在TCS中工作的每个人都能猜到它们。他们为证明自己而付出的巨大努力真是太好了。实际上，在阅读了该系列的一些论文之后，我了解了人类思维的力量。

图次要定理对TCS的不同领域也有很大的影响。像图论，近似算法，参数化算法，逻辑...

我最喜欢的一组结果是，看似无限的各种问题都是可以确定的。

1. 实数封闭域的一阶理论是可确定的（由Tarski提出）。欧几里得几何也是实闭合场公理的模型，因此，由塔斯基（Tarski）可以确定该模型中的一阶陈述。
2. Presburger算法是可以决定的。
3. 代数封闭域（包括复数）的一阶理论是可以确定的。
4. 无限（和有限）单词上的单子二阶逻辑是可以确定的。证明很优雅，可以教给本科生。

关于概率算法，有许多有趣的结果，这些结果看似简单，并且在我们思考计算的方式上迈出了一大步。

冯·诺伊曼（von Neumann）的有偏见的实现公平硬币的技巧。我们现在已经习惯了概率算法，但是从外部角度来看，这是不可思议的。知道高中概率的任何人都可以使用算法和证明。

蒂姆·格里芬（Tim Griffin）的结果是，控制诸如的运算符call/cc与经典逻辑有关，从而扩展了Curry-Howard对应关系。

call/cc$E$$\neg\neg \tau$$\mathtt{call/cc}{(E)}$$\tau$$\neg\tau$$\tau\rightarrow\bot$$\tau$

他的论文 “控制的公式化类型概念”发表在POPL 1990中。

我最喜欢的是拉宾（Rabin）的线性时间算法，用于计算平面中最接近的一对点（或更精确地说是简化点）。它涵盖了计算模型的重要性，随机算法的功能以及一些思考随机算法的优雅方法。

也就是说，从微积分的基本定义/结果，拓扑（不动点定理），组合学，几何学（毕达哥拉斯定理http://pythagorean.com/），CS仍然远没有达到一次在数学上遇到的优雅水平（嗯，他们已有5000多年的开端）。：//en.wikipedia.org/wiki/File：Pythag_anim.gif）等。

如果您要寻找美，那就到处寻找...

这个结果可能是最近才算是基本的，但是我相信类型为同伦类型解释是合格的。该视图允许将构造型理论中的类型解释为具有某些几何特性（在这种情况下是同伦）的集合。

我发现这种观点特别漂亮，因为它使对类型理论的某些先前复杂的观察变得简单，例如，“公理K”不可导出的事实。

史蒂夫·阿沃迪（Steve Awodey）对这个萌芽领域的概述可以在这里找到。

零知识证明是一个非常有趣的概念。它允许一个实体（证明者）向（证明者）另一个实体（证明者）证明其知道“秘密”（某些NP问题的解决方案，某个数量的模块化平方根，离散的记录一些数字等...），而根本不提供任何有关机密的信息（乍一看很难，因为证明您知道机密的第一个想法是实际上告诉机密，以及任何可能导致秘密的通信）验证者认为您知道该秘密可以先验地增加验证者有关该秘密的知识）。