合并两个二叉搜索树

我正在寻找一种算法来合并两个任意大小和范围的二进制搜索树。我实现此目标的明显方法是找到整个子树，其范围可以适合另一棵树中的任意外部节点。然而，运行时间对于这类算法的最坏情况似乎是数量级的O(n+m)地方n，并m分别为每棵树的大小。

但是，有人告诉我可以在中完成此操作O(h)，其中h的树的高度更大。我完全不知道这是怎么可能的。我尝试过先旋转一棵树，但是将一棵树旋转成脊柱已经是O（h）了。

ds.algorithms ds.data-structures tree

— 埃弗里茨
source

我不知道埃里克，我也有同样的问题。

公平地说，这是算法作业中提出的一个问题。事实证明，O（h）的运行时间过于严格，因为该问题忘记了提供更多必要的信息：一棵树中的所有键都比右树中的所有键小。

— efritz'3

我是否缺少某些东西，O(log n)通过简单的移动节点功能可以轻松地完成合并二叉树吗？

— 2012年

@AT是的，但是我们不知道一个BST的密钥与另一个BST是互斥的。

— efritz 2012年

这是一棵红黑树，不是BST。红黑（以及AVL树和堆）是保留高度限制属性的特殊树种。香草BST可以是单个脊柱。尝试在BST中插入一系列不递减或不递增的数字，您会发现这些树的高度实际上是n。只有完整或完整的二叉树的高度与其节点总数成对数。

— efritz 2012年

Answers:

在ArXiv：1002.4248中，John Iacono和ÖzgürÖzkan描述了一种相对简单的算法，用于在摊销时间内合并两个二叉搜索树。分析是困难的部分。[ 更新：正如Joe在其答案中正确观察到的，该算法归功于Brown和Tarjan。]他们还基于有偏向的跳过列表描述了一种更复杂的字典数据结构，该结构支持在摊销时间内进行合并。 $O(\log^2 n)$ $O(\log n)$

另一方面，的最坏情况边界是不可能的。考虑两个具有节点的二进制搜索树，一个树存储到之间的偶数整数，另一个树存储到之间的奇数整数。合并两棵树创建一个新的二叉搜索树存储之间的所有整数和。在任何这样的树中，恒定部分的节点具有与其父节点不同的奇偶校验。（证明：奇数叶的父级必须是偶数。）因此，合并偶数树和奇数树需要更改指针。 $O(\log n)$ $n$ $2$ $2n$ $1$ $2n-1$ $1$ $2n$ $\Omega(n)$

— 杰夫斯
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注意：如果我正确阅读了本文的说明，则这些树不支持插入和删除。该

合并只是遵循合并手指搜索树的过程（乔的回答中所述）。受限的操作集比

O (\lg^{2} n)

$O(\lg^2 n)$

一。

O (n \lg \frac{m}{n})

$O(n \lg \frac{m}{n})$

— jbapple 2012年

改进的分析归因于摊销，而不是对允许的操作的限制。插入和删除可以在同一

摊销的时间范围内进行拆分和合并（实际上是“联接”）来支持。

O (l o g n)

$O(log n)$

— Jeffε

只是出于好奇，如果将树存储在数组中而不是链表中，

时间是否会受到影响（我假设这是您在说“更改... 指针 ” 时的意思）？

Ω (n)

$\Omega(n)$

— mtahmed'2

默认情况下，“二进制搜索树”是基于指针的结构（不是“链接列表”）；每个节点指向其两个孩子，也可能指向其父节点。但是下限并不取决于精确的表示形式。有

合并两个

节点二进制搜索树的方法，因此任何基于比较的算法至少需要

(\binom{2 n}{n})

$\binom{2n}{n}$

n

$n$

比较，以选择合适的一个。

\log_{2} (\binom{2 n}{n}) \geq 2 n - O (\log n)

$\log_2 \binom{2n}{n} \ge 2n - O(\log n)$

— Jeffε

@Jɛﬀ E：我同意支持拆分和联接，但是我不认为创建或销毁树是可行的。因此，例如，如果我想从字母表中删除“ x”，我不仅会得到“ a..wyz”，还会得到“ x”。Universe的大小（为

，请参阅第2.1节）不会改变。另外，第1部分的简介还指出，集合必须对Universe进行分区，我对此解释（可能不正确）是指Universe中的每个元素都在某个树中。因此，按照我的阅读方式，这种构造不适用于无界的宇宙。这就是我应该在上面写评论的方式。

n

$n$

— jbapple 2012年

您可能会发现此参考资料很有帮助：Brown和Tarjan，一种快速合并算法，作者在其中展示了如何在是最佳的（用于基于比较的算法）。和是由二进制搜索树表示的有序列表的长度，并假定。 $O(n \log \frac{m}{n})$ $m$ $n$ $m \geq n$

您还可以在本文的第11.5节“ 手指搜索树”中看到有关合并有序集的不同技术的讨论。

— 乔
source

既

时间限制，并且下限匹配假设

。

O (n \log \frac{m}{n})

$O(n\log \frac{m}{n})$

m \geq n

$m\ge n$

— Jeffε

我认为那是时间界限所隐含的，但我编辑了问题以使其明确。

— 2012年

您可以在最坏的情况下合并树， $\bf\mathcal{O}(1)$ 同时仍然支持：在插入，删除和搜索。 $\mathcal{O}(log\ n)$

Brodal，GerthStølting，Christos Makris和Kostas Tsichlas。“纯功能最坏情况下恒定时间可连接排序列表”。在第14届欧洲年度研讨会会议记录中，第14卷，172-183。ESA'06。英国伦敦，英国：Springer-Verlag， 2006年。 [ PDF ]

— 在
source

他们的数据结构支持加入在O（1）分期时间，而不是合并。一棵树中的所有元素必须小于另一棵树中的所有元素。

— Jeffε

啊，是的。必须重新阅读该文章：“ Join（

，

）将两棵树合并为一棵树。在所有意义上，

所有元素小于或大于最小元素或最小元素，树

和

被排序。

最大元素，不失一般性地假设

在这种情况下，将树

附加到树

，该操作的结果是树

T_{i}

$T_i$

T_{j}

$T_j$

T_{i}

$T_i$

T_{j}

$T_j$

T_{j}

$T_j$

T_{i}

$T_i$

w (T_{i}) = w (T_{j})

$w(T_i) = w(T_j)$

T_{j}

$T_j$

T_{i}

$T_i$

被附接到上的脊柱的节点

“。

T_{i} \cdot T_{j}

$T_i \centerdot T_j$

T_{i}

$T_i$

— AT