红色和黑色树的子范围

在尝试修复库中的错误时，我搜索了有关在红树和黑树上找到子范围的论文，但没有成功。我正在考虑使用拉链的解决方案，以及与 不可变数据结构的删除算法上常用的追加操作类似的方法，但我仍在想是否还有我找不到的更好方法，甚至某些最低复杂度边界在这样的手术上？

明确地说，我正在谈论一种算法，给定一棵红黑树并有两个边界，它将生成一个新的红黑树，其中第一棵树的所有元素都属于这些边界。

当然，复杂度的上限是遍历一棵树并通过添加元素构造另一棵树的复杂度。

这个答案结合了我对问题的一些评论并加以扩展。

红黑树上的子范围运算可以在最坏情况下的O（log n）时间执行，其中n是原始树中的元素数。由于生成的树将与原始树共享某些节点，因此仅当树是不可变的（或树是可变的，但不再需要原始树）时，此方法才适用。

首先请注意，可以通过两个拆分操作来实现子范围操作。在此，分割操作采用一棵红黑树T和一个密钥x，并生成两棵树L和R，以使L包含T的所有元素小于x，R包含T的元素大于x。因此，我们现在的目标是在最坏的O（log n）时间对红黑树实施拆分操作。

我们如何在O（log n）时间内对红黑树执行拆分操作？好吧，原来有一种众所周知的方法。（我不知道，但我不是数据结构专家。）考虑联接操作，它采用两棵树L和R，使得L中的每个值都小于R中的每个值，并产生由所有树组成的树。连接操作可以在最坏情况下的时间O（| r _L -r _R | +1）中实现，其中r _L和r _R分别是L和R的等级（即，从根到每片叶子的路径上的黑色节点数）。拆分操作可以通过使用O（log n）次的联接操作来实现，并且通过考虑伸缩总和，最坏情况下的总时间仍然是O（log n）。

Tarjan的一本书[Tar83]的4.1和4.2节介绍了如何在最坏情况下的时间O（log n）上对红黑树实施联接和拆分操作。这些实现销毁了原始树，但是通过复制节点而不是对其进行修改，很容易将它们转换为不可变的功能实现。

附带说明一下，Objective Caml的Set和Map模块在（不可变的）平衡二进制搜索树上提供了分割操作以及其他标准操作。尽管它们不使用红黑树（它们使用平衡的二进制搜索树，其约束是左高度和右高度最多相差2个），但是查看它们的实现也可能有用。这是Set模块的实现。

参考文献

[Tar83] Robert Endre Tarjan。 数据结构和网络算法。CBMS-NSF应用数学区域会议系列第44卷，SIAM，1983年。

解决方案是不使用红黑树。在展开树和AVL树中，用于拆分和合并的代码非常简单。我为您提供以下带有Java代码的URL，这些URL用于支持此功能的展开树和AVL树。转到以下URL，然后检出Set.java（avl树）和SplayTree.java（splay树）。

ftp://ftp.cs.cmu.edu/usr/ftp/usr/sleator/splaying/

---丹尼·希勒（Danny Sleator）

（这本来是评论，但我太新了，不能发表评论。）

我只想指出，您可能也对“ excision”操作感兴趣，该操作将子范围作为新树返回，而将输入树作为子树返回。但是，由于已知方法依赖级别链接，因此您需要控制树的底层表示。切除在时间上与较小的树的大小成对数关系，尽管在摊销的意义上（“摊销”为iirc，因为我已无权使用论文了），请参见：

K. Hoffman，K。Mehlhorn，P。Rosenstiehl和RE Tarjan，使用水平链接搜索树对线性时间中的Jordan序列进行排序，信息与控制，68（1986），170--184

PS：以上引用来自Seidel的海底捞文章。挖土机也支持切除术。

$n$$m$$[a,b]$

1. $O(\lg n)$$\ge a$$a$的后继）。
2. 从那里开始，有序遍历将使用所需元素构建一个数组 $O(m)$ 时间。
3. 构建一个二叉搜索树：数组的中间给出了根，然后您就可以左右递归了。叶子到根的距离最多相差一：将“远处”的叶子涂成红色。（您可以在构造树的递归过程中进行着色。）这需要$O(m)$。

这适用于 $O(m+\lg n)$。与“遍历树并插入结果”进行比较，这需要$O(n+m\lg m)$。

更新，以响应对$o(m)$ 辅助空间：相信您需要 $\Omega(\lg m)$辅助空间可以构建几乎完整的二叉树，前提是事先告知您大小，然后您可以按一个接一个的顺序接收元素。画出完整的最后一棵树，想象一下您收到了第一棵$k$元素。这些元素通过切一些边缘的垂直线与其他元素分开。由于这些边缘的左端需要稍后连接，因此您需要记住它们。在最坏的情况下，垂直线会切成锯齿状$\lg m$ 边缘。

我没有弄清楚细节，所以我不确定额外的簿记如何影响运行时间。

第二次更新：JeffE在下面的评论中介绍了如何使用$O(1)$辅助空间并在同一时间范围内。（至少对于可变树木而言。）这意味着我的挥手论点在上面$\Omega(\lg m)$ 空间是错误的。