复杂度分析中平方根概念的著名示例

有许多算法和数据结构利用了在k = \ sqrt n处获得最小值的想法。常见的例子包括$\max \left\{k, n/k\right\}$$k=\sqrt n$

• 婴儿步长巨步算法，用于计算O（\ sqrt n）中的离散对数$O(\sqrt n)$，
• $O(\sqrt n)$时间和$O(n)$内存中的静态2D正交范围计数，
• 在O（\ sqrt [k] n）中具有EXTRACT-MIN $O(\sqrt[k] n)$并且在O（1）中具有 DECREASE-KEY的优先级队列$O(1)$，
• 在多项式时间内使用$O(\sqrt n)$颜色为3色图着色，

仅举几个。

尽管此类算法通常不是最佳算法，但它们易于为学生所理解，并且可以快速证明幼稚的边界不是最佳算法。同样，由于缓存友好性（不考虑缓存无关紧要的技术），有时平方根思想数据结构比其基于二叉树的数据结构更实用。这就是为什么我在教学时会对此话题给予极大关注的原因。

我对这种更独特的示例感兴趣。因此，我正在寻找任何分析都基于平方根概念的（最好是优雅的）算法，数据结构，通信协议等。它们的渐近性不一定是最佳的。

Chazelle，Liu和Magen的论文《亚线性几何算法》（STOC 2003，SICOMP 2006）具有以下随机抽样技巧的一些巧妙应用。Gärtner和Welzl [ DCG 2001 ] 先前曾引用过同一技巧的变化，他们引用了CLR（1990）的第一版。

假设我们得到一个排序的循环链接数字列表，存储在一个连续的内存块中。也就是说，我们有两个数组和，其中$Key[1..n]$$Next[1..n]$

• $Key[1..n]$以任意顺序存储一组数字；$n$
• 如果是集合中的最大数字，则是集合中的最小数字；否则，是集合中大于的最小数字。$Key[i]$$Key[Next[i]]$$Key[Next[i]]$$Key[i]$

然后，我们可以在预期时间找到给定数的后继：$x$$O(\sqrt{n})$

• 选择数组的元素的随机样本。令为小于的最大样本（如果所有样本均大于，则为最大样本）。$\sqrt{n}$$Key$$Key[j]$$x$$x$

• 跟随指针，直到我们看到一个大于或等于（如果所有样本都大于，则换行后）。$Next$$Key[j]$$x$$x$

姚引理的一个相对简单的应用意味着预期时限是最佳的。在最坏的情况下，用于此问题的任何确定性算法都需要时间。$O(\sqrt{n})$$\Omega(n)$

在任何边缘图中都有三角形，可以在时间内找到它们。有许多方法可以做到这一点，但我认为最早的人是Itai和Rodeh（STOC 1977），他们提供了一种算法，该算法进行一系列线性时间迭代，每一次迭代都从图中删除了一个跨越森林。在早期的迭代中，当剩余森林具有至少组成部分时，该算法每步至少移除边；在后期的迭代中，当其具有最多组件时，最大程度为并且每个函数至少缩小一个步。因此，总迭代次数最多为$O(m^{3/2})$$m$$O(m^{3/2})$$n-k$$k$$n-k$$k$$m/k+k$并选择正确的权衡得出迭代的和时间的的总体界限。$O(\sqrt m)$$O(m^{3/2})$