P中问题的近似算法

人们通常会考虑近似求解（有保证）NP难题。是否有任何研究在逼近已知在P中的问题？由于多种原因，这可能是一个好主意。我的头顶上是一个近似算法，它可能以更低的复杂度（甚至是更小的常数）运行，可以使用更少的空间或可以更好地并行化。

同样，提供时间/精度权衡的方案（FPTAS和PTAS）可能对于P的问题具有很大的吸引力，而P的问题是下限，这对于大输入是不可接受的。

三个问题：有什么我想念的东西使这显然不是一个好主意吗？正在开发这些算法的理论吗？至少，如果不是，是否有人熟悉这种算法的各个示例？

正如Jukka指出的那样，计算几何是可以在多项式时间内解决的众多问题的来源，但我们希望获得快速的近似值。经典的“理想”结果是“ LTAS”（线性时间近似方案），其运行时间的形式为 -通常，这些是通过提取常数（poly（1 / ϵ））根据数据确定内核大小，并在该内核上运行昂贵的算法，并确保内核上的精确解是整个输入上的近似解。$O(n + \text{poly}(1/\epsilon))$$1/\epsilon$

有很多技巧，简化和原则，Sariel Har-Peled的新书中包含了所有这些技巧。我认为没有如此复杂的理论。

为P中的问题找到近似解决方案的最新论文的非详尽列表$P$

1）有工作对用于线性方程近似解大量的（在接近线性的时间对称对角占优）$\mathcal{O}(n\cdot\text{polylog}(n))$

（论文清单）http://cs-www.cs.yale.edu/homes/spielman/precon/precon.html

（通常，大多数线性方程式的迭代求解器都具有逼近真实解的原理。解决更一般问题的迭代方法（例如某些凸/线性程序）也是如此。）$\epsilon$

2）最小/最大割/流量的 近似解http://people.csail.mit.edu/madry/docs/maxflow.pdf$s-t$

3）在亚线性时间内找到信号的傅立叶变换的稀疏近似http://arxiv.org/pdf/1201.2501v1.pdf

4）找到矩阵的近似主成分http://www.stanford.edu/~montanar/RESEARCH/FILEPAP/GossipPCA.pdf

我不知道有关P中问题的近似算法正在开发的一般理论。不过，我知道一个特定的问题，即所谓的近似距离预言：

给定一个加权无向图其中n = | V | 节点和m = | E | 边缘，点至点的查询请求的两个节点之间的距离小号，吨∈ V。$G = (V, E)$$n = |V|$$m = |E|$$s, t \in V$

在距离预言问题中，空间，查询时间和近似值之间存在三重折衷。通过存储全对距离矩阵，可以在O （1 ）时间内精确地回答每个查询（近似值= ）。或通过运行最短路径算法以O （m + n log n ）时间。对于大量图形，这两种解决方案可能需要非常大的空间（用于存储矩阵）或查询时间（用于运行最短路径算法）。因此，我们允许近似值。$1$$O(1)$$O(m + n\log n)$

对于一般图形，最新技术是Thorup和Zwick的距离预言，对于任何给定的近似值，都需要最佳空间。它还为您提供了很好的空间近似权衡。$k$

对于稀疏图，可以更广泛的空间逼近时间权衡所示。

我们经常寻求简单问题的近似解决方案，例如在图中找到最短路径，在集合中找到多个唯一元素。这里的约束是输入很大，我们想通过对数据进行一次传递来近似解决问题。设计了几种“流”算法以实现线性/近线性时间的近似解。

我研究的一个问题是近似中间性。这可以在具有n个顶点和m个边的图上以时间解决。线性时间算法可以为中间性中心性提供一个恒定的因子近似值，这一点非常实用。$O(nm)$$n$$m$

用于最大匹配的快速近似算法是已知的。立即想到的最准确的一种是http://arxiv.org/pdf/1112.0790v1.pdf。

$P$

我认为数据流和次线性算法的整个领域都是朝着这个方向努力的。在数据流中，重点是解决o（n）以及理想的O（polylog（n））空间中的问题，而在亚线性算法中，您尝试获取运行时间为o（n）的算法。在这两种情况下，通常都需要妥协采用随机近似算法。

您可以从本页和this上的材料开始。

$\epsilon$$\epsilon$。关于解决线性规划问题的特殊情况（例如多商品流（更一般而言，打包和覆盖LP））的大量论文非常接近。对于P中的问题与NP中的问题，没有单独的近似理论（我们不知道P是否等于NP）。可以谈论一种适用于特定类别问题的特定技术。例如，已知有一些通用技术可以近似求解打包和覆盖线性程序以及某些变体。

Dimitris提到了近似傅立叶变换。在图像压缩中，例如在JPEG算法中，它得到了广泛的应用。[1] 尽管我还没有看过一篇强调这一点的论文，但从某种意义上讲，似乎也可以将有损压缩 [2]（具有可推导的极限）用作P时间近似算法。逼近方面在高度上得到了优化和优化/优化，以使它们无法被人类视觉感知，即，人类对编码伪像的感知（大致定义为逼近与无损压缩之间的差异）已降至最低。

这与关于人眼如何通过某种类似于算法的过程感知或自身实际上“近似”颜色编码的理论有关。换句话说，实际上是有意地将理论逼近方案/算法设计为与物理/生物逼近方案/算法（通过生物信息处理即人类视觉系统中的神经元编码）相匹配。

因此，压缩与逼近紧密相关。在JPEG中，傅立叶变换由DCT离散余弦变换[3]近似。MPEG视频压缩标准在多个帧上采用了相似的原理。[4]

[1] jpeg压缩，维基百科

[2] 有损压缩，维基百科

[3] DCT，离散余弦变换，维基百科

[4] MPEG，维基百科

可能这还不能完全回答您的问题，因为目前我只能记住一些启发式方法，但是我敢肯定有一些近似值，因为我之前已经看过它们。

$O(f(k)*|G|^\alpha)$$f(k)$ 问题及其后来的近似/启发式算法（简单的Google在2010年，2011年显示结果），或用于查找图的树分解的算法。

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0020019002003939

是指向Doratha Drake和Stefan Hougardy的文章“加权匹配问题的简单近似算法”的链接，该文章涵盖了加权匹配问题。