关于稀疏整数线性规划问题的解决方案有哪些了解？

如果我有一组线性约束，其中每个约束最多具有（例如）4个变量（所有非负且具有{0,1}系数，但一个变量可以具有-1系数），那么该解的已知信息空间？我不太关心有效的解决方案（尽管请指出是否已知），而不是知道目标函数的最小值取决于变量数量和约束数量以及每个变量数量的函数。约束。

更具体地说，该程序类似于

最小化吨
  受到
对于所有的i，X_I是正整数
X1 + X2 + X3 -吨<0
X1 + X4 + X5 -吨<0
...
X3 + 5233 -吨≥0
X1 + X2 + X7 -吨≥0
...

如果需要一个具体的问题，那么最小解是否服从t <= O（max {变量的数量，约束的数量}），而O（）中的常数取决于稀疏性？但是，即使答案是否定的，我也更想知道要研究哪种教科书或论文来讨论此类问题，并且是否有专门研究此类问题的领域，但我只是不知道要搜索的字词。谢谢。

更新：经过进一步的思考（并通过将3SAT简化为ILP（使用具有三个变量的约束）进行思考），我意识到系数的问题非常关键（如果要有一个有效的算法）。更准确地说，所有x_i变量具有0或1个系数（在任何一个约束中最多具有三个1个系数），所有t变量具有-1系数，并且所有比较的变量都在左侧，变量在0右侧。我更新了上面的示例以进行澄清。

答案是否定的（至少对于关于线性定界解的具体问题）没有答案。这是以下文章的一部分：http : //arxiv.org/abs/1011.3493。定理5.1是这个问题的动机。

反例是这样的：

基本情况：

a_1'+ b_1'-t≥0
a_1''+ b_1''-t≥0
a_1 + b_1'-t≤-1
a_1'+ b_1''-t≤-1

递归的情况：

a_n'+ b_n'+ a_ {n-1}-t≥0
a_n''+ b_n''+ a_ {n-1}-t≥0
a_n + b_n'+ a_ {n-1}''-t≤-1
a_n'+ b_n'+ a_ {n-1}''-t≤-1

并要求它们全部为非负数。

您可以通过归纳证明任何实际解都必须满足a_n''> = a_n + 2 ^ n。我们将“ <0”-不等式更改为“≤-1”，因为当且仅当整数解满足“ <0”时，它才满足“≤-1”。

因此，道德是这种形式的n个不等式可以具有以下性质：所有整数解在n中至少具有至少一个指数幂的整数，当然不像我们最初怀疑的那样线性限制。

如果系数矩阵是完全单模的，则可以通过普通的线性规划来找到有效的解决方案。这适用于所有ILP，不仅适用于稀疏ILP，尽管您更有可能利用此属性来获得稀疏ILP（例如您的ILP）。

我怀疑您可能已经知道这一点，所以让我尝试为您提供更好的答案。在对细节进行深入思考之前，您的具体问题的答案是“是”，存在一个界限。m个变量中n个不等式的交集定义了一个多边形。由于系数表现得很好，因此我们只需一点点算术就可以得出其顶点坐标尺寸的上限。这使您可以轻松地确定多面体中任何整数点的尺寸上限，从而可以解决整数程序的问题。你已经尝试过了吗？

特别是您的问题有很多结构（我很好奇，它是从哪里来的？），所以我相信，如果我们进一步讨论，我们会比这更精确。

现在，对于有关查找有关此主题的信息的更一般的问题。这是传统上属于线性规划和整数规划理论（数学规划的一个子集）的问题。

这是一个非常活跃的研究领域，但是很多工作是在运筹学部门中进行的，而不是计算机科学，而是以“优化”和“数学编程”为标题。有很多关于该主题的教科书。您可能会考虑我们在伯克利使用的Wolsey设计的一款。这是格林伯格未充分利用的神话和反例清单，包括整数和线性编程，它们可能使您了解人们在分析此类问题时应考虑的事项。沃尔西（Wolsey）人口稠密，但却是一个不错的起点–各种各样的技术可以用来分析ILP并改善问题的表达方式，以提高效率。

让我补充说，如果您确实遵循我建议的幼稚方法，则通过分析多面体的几何形状，要搜索的术语将涉及到限制多面体顶点的坐标大小。这些术语在有关多位点的数学文献中经常出现。

您可能会发现此感兴趣的帐户：

http://en.wikipedia.org/wiki/Polyhedral_combinatorics

特别是G. Ziegler的文章：

0-1多义词讲座

在：

凯莱·吉尔；Ziegler，GünterM.（2000），《多边形：组合与计算》，DMV研讨会，29，Birkhäuser，ISBN 9783764363512。